Um solenoide toroidal consiste numa bobina com N espiras enroladas em forma de toro, como ilustrado. Com N grande o suficiente para que espiras adjacentes fiquem muito próximas, as linhas de campo magnético dentro da bobina devem ser círculos concêntricos com o centro O e a magnitude de B deve ser independente do ângulo no toroide.
Um solenoide toroidal tem raio interno de 12,0 cm e raio externo de 15,0 cm. Ele conduz uma corrente de 1,50 A. Quantas voltas igualmente espaçadas ele precisa ter para que produza um campo magnético de 3,75 mT nos pontos dentro das bobinas a 14,0 cm de seu centro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um solenoide toroidal, que é tipo uma bobina em formato de anel, com algumas características específicas. Aqui, queremos descobrir quantas voltas (ou espiras) essa bobina precisa ter para gerar um campo magnético específico dentro dela. Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo, especialmente a fórmula do campo magnético em um toroide. Vamos precisar saber sobre a relação entre o campo magnético, a corrente elétrica, o número de voltas e o raio do toroide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona o campo magnético $ \mathbf{B} $ dentro de um toroide. A fórmula é:
B
Onde:
  • $ B $ é a magnitude do campo magnético.
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
  • $ N $ é o número de voltas.
  • $ I $ é a corrente que passa pelo toroide.
  • $ r $ é a distância do centro do toroide onde estamos medindo o campo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ N $, o número de voltas. Então, vamos reorganizar a fórmula para isolar $ N $:
N

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, vamos converter todas as medidas para as unidades padrão do SI:
  • $ B = 3,75 , mT = 3,75 \times 10^{-3} , T $
  • $ r = 14,0 , cm = 0,14 , m $
  • $ I = 1,50 , A $
  • $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
N = 3,75 times 10^-3 , T times 2pi times 0,14 , m4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 1,50 , A

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que $ \pi $ aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo:
pi

Passo 7

Calculando o numerador:
3,75 times 10^-3 times 2 times 0,14 = 3,75 times 2 = 7,5 times 10^-3 times 0,14 = 1,05 times 10^-3
Calculando o denominador:
4 times 10^-7 times 1,50 = 6 times 10^-7

Passo 8

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
N = 1,05 times 10^-36 times 10^-7 = 1,056 times 10^(-3) - (-7) = 0,175 times 10^4 = 1750

Resposta

O solenoide toroidal precisa ter 1.750 voltas para produzir um campo magnético de 3,75 mT a 14,0 cm do centro.

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