Se um solenoidetem 3,0 \mathrm{~cm} de comprimento, um raio de 0,50 \mathrm{~cm}, 500 espiras e conduz uma corrente de 2,0 \mathrm{~A}, qual é o campo magnético no centro do solenoide?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • comprimento do solenoide: L=3{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • raio do solenoide: R=0{,}50\\ \mathrm{cm}.
    • número de espiras: N=500.
    • corrente que percorre o solenoide: I=2{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Pergunta do enunciado:
    • Qual é o campo magnético no centro do solenoide?

Passo 2

Entender a fórmula que vamos usar (a ideia física). Vou dar uma pequena aula sobre por que um solenoide gera campo magnético quase uniforme no interior e qual fórmula simples usamos.
  • Conceito básico: um solenoide consiste em muitas espiras circulares empilhadas. Quando uma corrente elétrica percorre essas espiras, cada espira cria um campo magnético; a soma (superposição) desses campos resulta, perto do eixo e no interior, em um campo quase uniforme e paralelo ao eixo.
  • Para um solenoide longo e “bem enrolado” (comprimento grande em comparação ao raio), a expressão aproximada para o módulo do campo magnético no interior e perto do centro é
B=\mu_0\,n\,I,
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, ou constante magnética, com valor \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};
  • n é a densidade de espiras por unidade de comprimento, isto é o número de espiras por metro;
  • I é a corrente que atravessa as espiras, em ampères.
  • Interpretando as variáveis: n=\dfrac{N}{L} porque se há N espiras distribuídas ao longo do comprimento L, cada metro do solenoide contém em média N/L espiras.

Passo 3

Justificar o uso da aproximação e escrever a fórmula com os dados. Explico rapidinho quando essa fórmula é boa:
  • A aproximação B=\mu_0 n I é rigorosa para um solenoide infinito; para um solenoide finito é uma boa aproximação quando o comprimento é maior que o raio. Aqui o comprimento é L=3{,}0\\ \mathrm{cm} e o raio é R=0{,}50\\ \mathrm{cm}, então L/R=6, ou seja o comprimento é algumas vezes maior que o raio — a aproximação é razoável para estimar o campo no centro.
  • Substituindo n=\dfrac{N}{L} na fórmula:
B=\mu_0\left(\dfrac{N}{L}\right)I.

Passo 4

Converter unidades para o sistema SI e calcular n.
  • Converter L para metros:
L=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a densidade de espiras n:
n=\dfrac{N}{L}=\dfrac{500}{0{,}030\\ \mathrm{m}}=1{,}666\ldots\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Calcular numericamente o campo B usando todos os valores.
  • Escrever a expressão numérica:
B=\mu_0\,n\,I=(4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A})\times(1{,}666\ldots\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}})\times(2{,}0\\ \mathrm{A}).
  • Efetuando as contas passo a passo:
    • Primeiro \mu_0 n=(4\pi\times10^{-7})\times(1{,}666\ldots\times10^{4})\approx0{,}02094395\\ \mathrm{T/A}.
    • Multiplicando por I=2{,}0\\ \mathrm{A}:
B\approx0{,}0418879\\ \mathrm{T}.
  • Arredondando de forma compatível com os dados fornecidos (duas algarismos significativos), fica
B\approx0{,}042\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida.
  • O resultado B\approx0{,}042\\ \mathrm{T} equivale a 42\\ \mathrm{mT}.
  • Observação prática: como L/R\approx6, a aproximação usada é razoável para o campo no centro; para uma precisão muito maior seria preciso usar a expressão exata do campo no eixo de um solenoide finito, mas geralmente em problemas de prova essa fórmula \mu_0 n I é a esperada.

Resposta

0{,}042\\ \mathrm{T}

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