Um próton se move ao longo do eixo x de acordo com a equaçäo
que
está em metros e t está em segundos. Calcule a aceleração instantânea do próton no instante
.
Passo 1
O enunciado dá a posição do próton como função do tempo e pede a aceleração instanteânea num instante específico. Informações e pedido, claramente:
- A função posição é
, onde está em metros e está em segundos (peguei esses dados do enunciado). - A pergunta: calcular a aceleração instantânea do próton no instante
.
Passo 2
O que significa “aceleração instantânea” (a ideia, sem resolver ainda).
- A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo no instante dado. Mais formalmente, é o limite da razão de variação da velocidade quando o intervalo de tempo tende a zero.
- Em notação prática, se
é a velocidade, a aceleração é . E como a velocidade é a derivada da posição, isto é , a aceleração é a segunda derivada da posição:
Explicando bem simples: a posição
diz “onde” o próton está; a velocidade
diz “com que rapidez e direção” ele se desloca; a aceleração
diz “com que rapidez a velocidade muda”. Isso é o que vamos calcular.
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (pegar da teoria):
- A derivada de uma função polinomial
em relação a é . Aqui é constante e é um inteiro positivo. - Aplicando isso termo a termo:
porque é . E .
Essas regras são diretas e fáceis de aplicar em polinômios.
Passo 4
Calculando a velocidade
a partir de
.
Lembrete de unidade: como
está em metros e
em segundos,
tem unidade
.
Passo 5
Agora calculamos a aceleração
. Diferenciando
:
A aceleração é constante e igual a
. A unidade, pela razão das unidades, é
. Interpretando: a velocidade aumenta
a cada segundo.
Passo 6
Avaliação no instante pedido
.
Checagem rápida (intuitiva): como a aceleração é constante, o valor em qualquer instante é o mesmo; portanto em
vale
.