Um próton se move ao longo do eixo x de acordo com a equaçäo x=50 t+10 t^{2}, \mathrm{em} que x está em metros e t está em segundos. Calcule a aceleração instantânea do próton no instante t=3,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição do próton como função do tempo e pede a aceleração instanteânea num instante específico. Informações e pedido, claramente:
  • A função posição é x(t)=50\,t+10\,t^{2}, onde x está em metros e t está em segundos (peguei esses dados do enunciado).
  • A pergunta: calcular a aceleração instantânea do próton no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que significa “aceleração instantânea” (a ideia, sem resolver ainda).
  • A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo no instante dado. Mais formalmente, é o limite da razão de variação da velocidade quando o intervalo de tempo tende a zero.
  • Em notação prática, se v(t) é a velocidade, a aceleração é a(t)=\dfrac{dv}{dt}. E como a velocidade é a derivada da posição, isto é v(t)=\dfrac{dx}{dt}, a aceleração é a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Explicando bem simples: a posição x(t) diz “onde” o próton está; a velocidade v(t) diz “com que rapidez e direção” ele se desloca; a aceleração a(t) diz “com que rapidez a velocidade muda”. Isso é o que vamos calcular.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (pegar da teoria):
  • A derivada de uma função polinomial c\,t^{n} em relação a t é c\cdot n\,t^{n-1}. Aqui c é constante e n é um inteiro positivo.
  • Aplicando isso termo a termo: \dfrac{d}{dt}(50\,t)=50 porque é 50\cdot 1\,t^{0}=50. E \dfrac{d}{dt}(10\,t^{2})=10\cdot 2\,t^{1}=20\,t.
    Essas regras são diretas e fáceis de aplicar em polinômios.

Passo 4

Calculando a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} a partir de x(t)=50\,t+10\,t^{2}.
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(50\,t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(10\,t^{2}\bigr)=50+20\,t.
Lembrete de unidade: como x está em metros e t em segundos, v(t) tem unidade \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora calculamos a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Diferenciando v(t)=50+20\,t:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(50\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(20\,t\bigr)=0+20=20.
A aceleração é constante e igual a 20. A unidade, pela razão das unidades, é \mathrm{m/s^{2}}. Interpretando: a velocidade aumenta 20\\ \mathrm{m/s} a cada segundo.

Passo 6

Avaliação no instante pedido t=3{,}0\\ \mathrm{s}.
a(3{,}0\\ \mathrm{s})=20\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Checagem rápida (intuitiva): como a aceleração é constante, o valor em qualquer instante é o mesmo; portanto em t=3{,}0\\ \mathrm{s} vale 20\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

\,20\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados