Se a posição de uma partícula é dada por x=20 t-5 t^{3}, onde x está em metros e t em segundos, em que instante (a) a velocidade da partícula é zero? (b) Em que instante (s) a aceleração é zero? (c) Para que intervalo de tempo a aceleração é negativa? d) Para que intervalo de tempo a aceleração positiva? R (a) 1.2 s ; (b) Os.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
x(t)=20\,t-5\,t^{3},
onde x está em metros e t em segundos. O que é pedido:
  • (a) Em que instante a velocidade da partícula é zero?
  • (b) Em que instante a aceleração é zero?
  • (c) Para que intervalo de tempo a aceleração é negativa?
  • (d) Para que intervalo de tempo a aceleração é positiva?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função posição é \,x(t)=20\,t-5\,t^{3}.
  • Para obter velocidade e aceleração precisamos derivar essa função em relação a t.

Passo 2

Entendendo velocidade a partir da posição (aulas rápidas de derivada). A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa: a velocidade indica a taxa de variação de x quando t muda, ou seja, a inclinação da curva x(t). Matematicamente:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Agora calculamos a derivada da função dada. A regra básica: \dfrac{d}{dt}(a\,t)=a e \dfrac{d}{dt}(b\,t^{n})=b\,n\,t^{n-1}. Aplicando em x(t)=20\,t-5\,t^{3} obtemos:
v(t)=\frac{d}{dt}\big(20\,t\big)-\frac{d}{dt}\big(5\,t^{3}\big)=20-5\cdot3\,t^{2}=20-15\,t^{2}.

Passo 3

Resolver (a): velocidade zero. Queremos os instantes t tais que v(t)=0. Montamos a equação:
20-15\,t^{2}=0.
Isolando t^{2}:
15\,t^{2}=20 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}.
Tomando raiz quadrada:
t=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Interpretação prática: matematicamente há duas soluções, t=-\dfrac{2}{\sqrt{3}} e t=+\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Em problemas físicos com tempo normalmente consideramos t\ge 0, então o instante relevante é
t=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \text{s}\approx1,155\\ \text{s}.
(Se preferir arredondar grosso modo, isso é aproximadamente 1,16\\ \text{s} ou 1,2\\ \text{s}.)

Passo 4

Entendendo aceleração a partir da velocidade. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, que representa a taxa de variação da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Usando v(t)=20-15\,t^{2} e a regra \dfrac{d}{dt}(c\,t^{2})=2c\,t, obtemos:
a(t)=\frac{d}{dt}\big(20\big)-\frac{d}{dt}\big(15\,t^{2}\big)=0-15\cdot2\,t=-30\,t.

Passo 5

Resolver (b): aceleração zero. Procuramos t tal que a(t)=0:
-30\,t=0 \quad\Rightarrow\quad t=0.
Portanto a aceleração é zero exatamente em t=0\\ \text{s}.

Passo 6

Determinar sinais da aceleração (c) e (d). Temos a expressão simples
a(t)=-30\,t.
Analisar o sinal de a(t) é equivalente a analisar o sinal de -t (porque -30 é negativo constante).
  • Se t>0 então -t<0, logo a(t)=-30\,t<0. Portanto a aceleração é negativa para todos os instantes com t>0.
  • Se t<0 então -t>0, logo a(t)>0. Portanto a aceleração é positiva para todos os instantes com t<0.
  • Em t=0 tem-se a(0)=0.
Observação prática: se no contexto do problema o tempo só faz sentido a partir de t=0 (situação comum), então a aceleração será negativa para todo o intervalo t>0 e não existe intervalo de tempo com aceleração positiva para t\ge 0.

Passo 7

Resumo rápido (intuição): a aceleração sendo -30\,t é uma função linear que passa por zero em t=0; para tempos positivos ela fica negativa e para tempos negativos fica positiva. Isso bate com a ideia de que a partícula está tendo uma desaceleração contínua para frente do tempo positivo.

Resposta

(a) t=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ \text{s}. Se considerar t\ge 0, t=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ \text{s}\approx1,155\\ \text{s}
(b) t=0\\ \text{s}
(c) a(t)<0 para t>0 (se restringir a t\ge 0, então a aceleração é negativa para todo t>0)
(d) a(t)>0 para t<0 (se restringir a t\ge 0, não existe intervalo com a>0)

Exercícios relacionados