Se a posição de uma partícula é dada por
, onde x está em metros e
em segundos, em que instante (a) a velocidade da partícula é zero? (b) Em que instante (s) a aceleração é zero? (c) Para que intervalo de tempo a aceleração é negativa? d) Para que intervalo de tempo a aceleração positiva?
(a) 1.2 s ; (b) Os.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. O que é pedido:
- (a) Em que instante a velocidade da partícula é zero?
- (b) Em que instante a aceleração é zero?
- (c) Para que intervalo de tempo a aceleração é negativa?
- (d) Para que intervalo de tempo a aceleração é positiva?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função posição é
. - Para obter velocidade e aceleração precisamos derivar essa função em relação a
.
Passo 2
Entendendo velocidade a partir da posição (aulas rápidas de derivada). A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa: a velocidade indica a taxa de variação de
quando
muda, ou seja, a inclinação da curva
. Matematicamente:
Agora calculamos a derivada da função dada. A regra básica:
e
. Aplicando em
obtemos:
Passo 3
Resolver (a): velocidade zero. Queremos os instantes
tais que
. Montamos a equação:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada:
Interpretação prática: matematicamente há duas soluções,
e
. Em problemas físicos com tempo normalmente consideramos
, então o instante relevante é
(Se preferir arredondar grosso modo, isso é aproximadamente
ou
.)
Passo 4
Entendendo aceleração a partir da velocidade. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, que representa a taxa de variação da velocidade:
Usando
e a regra
, obtemos:
Passo 5
Resolver (b): aceleração zero. Procuramos
tal que
:
Portanto a aceleração é zero exatamente em
.
Passo 6
Determinar sinais da aceleração (c) e (d). Temos a expressão simples
Analisar o sinal de
é equivalente a analisar o sinal de
(porque
é negativo constante).
- Se
então , logo . Portanto a aceleração é negativa para todos os instantes com . - Se
então , logo . Portanto a aceleração é positiva para todos os instantes com . - Em
tem-se .
Observação prática: se no contexto do problema o tempo só faz sentido a partir de
(situação comum), então a aceleração será negativa para todo o intervalo
e não existe intervalo de tempo com aceleração positiva para
.
Passo 7
Resumo rápido (intuição): a aceleração sendo
é uma função linear que passa por zero em
; para tempos positivos ela fica negativa e para tempos negativos fica positiva. Isso bate com a ideia de que a partícula está tendo uma desaceleração contínua para frente do tempo positivo.
Resposta
(a)
. Se considerar
,
(b)
(c) para
(se restringir a
, então a aceleração é negativa para todo
)
(d) para
(se restringir a
, não existe intervalo com
)
(b)
(c)
(d)