7 Um sólido tem como base a região circular \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq a\right\}, onde a>0. As seções retas do sólido em relação aos eixo x são quadrados. Determine seu volume.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido cujas bases laterais, ao se cortar perpendicularmente ao eixo x, são quadrados. A projeção desse sólido no plano xy é a região circular
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le a\},
onde a>0. Para encontrar o volume, vamos usar o método de seções transversais, que diz que
V = \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} A(x)\,dx,
sendo A(x) a área da seção no ponto x.

Passo 2

Em uma abscissa fixa x, a interseção da base com a reta vertical tem y variando de
y=-\sqrt{a - x^2}\quad\text{até}\quad y=+\sqrt{a - x^2}.é
Logo, o lado do quadrado nessa seção é
s(x)=2\sqrt{a - x^2}.

Passo 3

A área do quadrado em x é
A(x)=\bigl[s(x)\bigr]^2 = \bigl(2\sqrt{a - x^2}\bigr)^2 = 4\bigl(a - x^2\bigr).

Passo 4

Os valores de x vão de -\sqrt{a} a +\sqrt{a}. Assim o volume é
V = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} 4\bigl(a - x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral, note que é função par, então
\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a - x^2)\,dx =2\int_{0}^{\sqrt{a}}(a - x^2)\,dx =2\Bigl[a\,x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt{a}} =2\Bigl(a\sqrt{a}-\tfrac{(\sqrt{a})^3}{3}\Bigr) =2\Bigl(a^{3/2}-\tfrac{a^{3/2}}{3}\Bigr) =\tfrac{4}{3}a^{3/2}.
Multiplicando por 4, obtemos
V = 4\cdot\tfrac{4}{3}a^{3/2} = \tfrac{16}{3}\,a^{3/2}.

Resposta

V = \frac{16}{3}\,a^{3/2}.

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