5 Para a>0 fixado, temos que a base de um certo sólido é o círculo C= \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right\}. Cada seção plana do sólido por planos perpendiculares ao eixo x é um quadrado com um lado sobre a base do sólido. Calcule seu volume.

Passo 1

O enunciado diz que a base do sólido é o círculo
C = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le a^2\}
e que, para cada valor de x, o plano perpendicular ao eixo x corta o sólido numa seção que é um quadrado com um lado apoiado sobre a base. O conteúdo principal é o método de secções transversais, em que
V = \int_{\text{intervalo de }x} \! A(x)\,dx,
onde A(x) é a área da secção em função de x.

Passo 2

Para um x fixo, a projeção do sólido na base mostra que o quadrado tem lado igual ao comprimento do segmento dentro do círculo, isto é, o comprimento da corda em y:
y \text{ varia de } -\sqrt{a^2 - x^2} \text{ até } \sqrt{a^2 - x^2},é
logo o lado do quadrado é
s(x) = 2\,\sqrt{a^2 - x^2}.

Passo 3

A área da secção quadrada para cada x é
A(x) = \bigl(s(x)\bigr)^2 = \bigl(2\sqrt{a^2 - x^2}\bigr)^2 = 4\,(a^2 - x^2).

Passo 4

O volume do sólido é o integral de A(x) de x=-a até x=a:
V = \int_{-a}^{a} 4\,(a^2 - x^2)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{-a}^{a} (a^2 - x^2)\,dx = \Bigl[a^2 x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-a}^{a} = \bigl(a^3 - \tfrac{a^3}{3}\bigr) - \bigl(-a^3 + \tfrac{a^3}{3}\bigr) = \tfrac{4a^3}{3}.
Multiplicando pelo fator 4:
V = 4 \times \tfrac{4a^3}{3} = \tfrac{16a^3}{3}.

Resposta

V = \frac{16\,a^3}{3}.

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