Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de
, contida no plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região
, em torno do eixo indicado.
(a)
e o eixo
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede a região
no primeiro quadrante limitada por
e o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
. Vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
A região
é composta por todos os pontos com
e
. Geometricamente é o “pé de curva” de
entre
e
, apoiado no eixo
.
Passo 3
Para o método das cascas cilíndricas, tomamos uma fatia vertical em
, de espessura
.
O raio da casca é , a altura é
O raio da casca é
e a área lateral de cada casca é
. Assim,
Passo 4
Integramos de
a
:
Calculamos
Logo,
Resposta
A região
é o “pé” da curva
entre
e
(limitada pelo eixo
).
O volume gerado pela rotação em torno do eixo é
O volume gerado pela rotação em torno do eixo