Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de R, contida no plano x y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região R, em torno do eixo indicado.
(a) y=\sqrt{x}, x=4, y=0 e o eixo y;

Passo 1

O enunciado pede a região R no primeiro quadrante limitada por
y=\sqrt{x},\quad x=4,\quad y=0
e o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

A região R é composta por todos os pontos com 0\le x\le4 e 0\le y\le\sqrt{x}. Geometricamente é o “pé de curva” de y=\sqrt{x} entre x=0 e x=4, apoiado no eixo x.

Passo 3

Para o método das cascas cilíndricas, tomamos uma fatia vertical em x, de espessura dx.
O raio da casca é x, a altura é
\hbox{altura} = \sqrt{x}-0 = \sqrt{x},
e a área lateral de cada casca é 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura}). Assim,
dV = 2\pi\,x\,\sqrt{x}\,dx = 2\pi\,x^{3/2}\,dx.

Passo 4

Integramos de x=0 a x=4:
V = 2\pi \int_{0}^{4} x^{3/2}\,dx.
Calculamos
\int_{0}^{4} x^{3/2}\,dx = \left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{0}^{4} = \frac{2}{5}\cdot 4^{5/2} = \frac{2}{5}\cdot 32 = \frac{64}{5}.
Logo,
V = 2\pi \cdot \frac{64}{5} = \frac{128\pi}{5}.

Resposta

A região R é o “pé” da curva y=\sqrt{x} entre x=0 e x=4 (limitada pelo eixo x).
O volume gerado pela rotação em torno do eixo y é
V = \frac{128\pi}{5}.

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