Um solo apresenta uma porosidade de 0,30 e uma massa específica seca de 1800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine o índice de vazios (e) e o valor do peso específico dos grãos ( \rho_{s} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados:
  • porosidade: n=0,30,
  • massa específica seca (densidade seca): \rho_{d}=1800\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O que o problema pede:
  • calcular o índice de vazios e;
  • calcular o peso específico (densidade) dos grãos \rho_{s}.

Passo 2

Entendendo as grandezas (explicação didática e fórmulas básicas):
  • Porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios. Se V é o volume total, V_{v} o volume de vazios e V_{s} o volume dos sólidos, então
n=\frac{V_{v}}{V}.
  • Índice de vazios e é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e=\frac{V_{v}}{V_{s}}.
Vamos relacionar n e e. Como V=V_{s}+V_{v}, dividindo ambos os lados por V_{s} obtemos
\frac{V}{V_{s}}=1+\frac{V_{v}}{V_{s}}=1+e.
Mas \dfrac{V_{v}}{V} = n, então \dfrac{V_{v}}{V_{s}} = \dfrac{n}{1-n}. Isso nos dá a relação prática usada em provas:
e=\frac{n}{1-n}.

Passo 3

Cálculo do índice de vazios e usando a fórmula:
e=\frac{n}{1-n}=\frac{0,30}{1-0,30}=\frac{0,30}{0,70}=\frac{3}{7}\approx0,428571\ldots
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar e\approx0,429 (ou deixar como 3/7 se preferir exatidão em fração).

Passo 4

Entendendo a massa específica seca e a densidade dos grãos (explicação):
  • A massa específica seca \rho_{d} é a massa de sólidos por unidade de volume total:
\rho_{d}=\frac{M_{s}}{V}.
  • A densidade dos grãos \rho_{s} é a massa de sólidos por unidade do volume dos sólidos:
\rho_{s}=\frac{M_{s}}{V_{s}}.
Como M_{s}=\rho_{s}V_{s}, substituindo em \rho_{d} obtemos
\rho_{d}=\frac{\rho_{s}V_{s}}{V}=\rho_{s}\frac{V_{s}}{V}.
Mas \dfrac{V_{s}}{V}=1-n. Portanto a relação útil é
\rho_{d}=\rho_{s}(1-n)
ou isolando \rho_{s},
\rho_{s}=\frac{\rho_{d}}{1-n}.
Aqui: \rho_{d} é conhecido, n também; isso permite calcular \rho_{s}.

Passo 5

Cálculo numérico de \rho_{s}:
\rho_{s}=\frac{\rho_{d}}{1-n}=\frac{1800}{1-0,30}=\frac{1800}{0,70}.
Para simplificar sem calculadora: \dfrac{1800}{0,70}=\dfrac{1800}{7/10}=1800\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{18000}{7}.
Isso dá \dfrac{18000}{7}\approx2571,428571\ldots\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando de forma prática para a prova: \rho_{s}\approx2571\\ \mathrm{kg/m^{3}} ou \rho_{s}\approx2571,4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Resposta

e=0,4286 (aproximadamente)
\rho_{s}=2571,4\\ \mathrm{kg/m^{3}} (aproximadamente)

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