Um solo arenoso, com \mathrm{e}_{\max }=0,75, \mathrm{e}_{\min }=0,46 \mathrm{e} \rho \mathrm{s}=2,68 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Qual será o peso específico natural ( \mathrm{em} \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} ) se \mathrm{D}_{\mathrm{r}}=82 \% e \mathrm{w}=11 \%.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o peso específico natural (em \mathrm{kN/m^{3}}) de um solo arenoso, sabendo que \mathrm{D}_\mathrm{r}=82\% e \mathrm{w}=11\%.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • \,e_{\max}=0,75.
  • \,e_{\min}=0,46.
  • \rho_s=2,68\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \mathrm{D}_\mathrm{r}=82\%=0,82.
  • \mathrm{w}=11\%=0,11.
O que devemos calcular:
  • O peso específico natural \gamma (em \mathrm{kN/m^{3}}) correspondente às condições acima.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar o índice de vazios (void ratio) atual e. Explicando o conceito e a fórmula passo a passo (calma, juntos vamos mastigar):
  • O índice de vazios e é a razão entre o volume dos vazios e o volume dos sólidos no solo. É adimensional.
  • A densidade relativa (ou índice de compactação) \mathrm{D}_\mathrm{r} para areias é definida por:
\mathrm{D}_\mathrm{r}=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde e é o índice de vazios atual. Essa fórmula mede o quão próximo o solo está do estado mais compacto possível.
  • Isolando e da fórmula acima:
e=e_{\max}-\mathrm{D}_\mathrm{r}\,(e_{\max}-e_{\min}).
Agora substituímos os valores dados:
e=0,75-0,82\,(0,75-0,46).
Calculemos a diferença:
0,75-0,46=0,29.
Então
e=0,75-0,82\cdot0,29=0,75-0,2378=0,5122.
Arredondando razoavelmente, e\approx0,512.

Passo 3

Agora vamos relacionar e com o peso específico seco \gamma_d. Conceitos e derivação curta:
  • Seja G_s a gravidade específica dos sólidos (razão entre densidade dos sólidos e densidade da água). Dado \rho_s=2,68\\ \mathrm{g/cm^{3}} e sabendo que a água tem \rho_w\approx1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}, temos
G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}=2,68.
  • O peso específico da água (peso por volume) é \gamma_w. Vamos usar \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
  • Para um volume total unitário do solo, a fração volumétrica de sólidos é \dfrac{1}{1+e}. O peso dos sólidos por unidade de volume (seco) é então G_s\gamma_w\cdot\dfrac{1}{1+e}. Assim,
\gamma_d=\frac{G_s\,\gamma_w}{1+e},
onde \gamma_d é o peso específico seco (em \mathrm{kN/m^{3}}).
Substituindo os números (usando G_s=2,68, \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN/m^{3}} e e=0,5122):
1+e=1+0,5122=1,5122.
G_s\gamma_w=2,68\cdot9,81=26,2908\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
\gamma_d=\frac{26,2908}{1,5122}\approx17,384\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
Arredondando, \gamma_d\approx17,38\\ \mathrm{kN/m^{3}}.

Passo 4

Agora incorporamos a umidade w para obter o peso específico natural \gamma. Conceito e fórmula:
  • A umidade gravimétrica w é a razão entre a massa de água presente e a massa de sólidos.
  • O peso específico natural \gamma relaciona-se ao seco por:
\gamma=\gamma_d(1+w).
Isso vem do fato de que a massa (logo o peso) total aumenta pelo fator 1+w em relação à massa seca.
Com w=0,11:
\gamma=\gamma_d(1+0,11)=\gamma_d\cdot1,11.
Usando \gamma_d\approx17,384\\ \mathrm{kN/m^{3}}:
\gamma\approx17,384\cdot1,11\approx19,296\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
(Verificação alternativa combinada: \gamma=\dfrac{G_s\gamma_w(1+w)}{1+e} dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Arredondando para um número com duas casas decimais, e apresentando o valor final de forma clara:
\gamma\approx19,30\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
Força final de incentivo: deu trabalho, mas seguindo as fórmulas passo a passo ficou tranquilo — agora você faz isso na prova!

Resposta

19,30\\ \mathrm{kN/m^{3}}

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