Um solo apresenta massa especifica natural de 1680 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, um teor de umidade de 18 \% e um \rho_{\mathrm{s}}=2,73 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine:
(a) massa específica seca;
(b) índice de vazios;
(c) grau de saturação;
(d) massa específica saturada e
(e) a massa de água necessária para atingir a saturação total (Dê o resultado \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que sabemos e o que nos pedem):
  • Massa específica natural (densidade aparente) do solo: \rho=1680\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Teor de umidade: w=18\% (ou seja w=0,18 em forma decimal).
  • Massa específica dos grãos (densidade dos sólidos): \rho_{\mathrm{s}}=2,73\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Convertendo \rho_{\mathrm{s}} para \mathrm{kg/m^{3}} (pois 1 \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
  • \rho_{\mathrm{s}}=2730\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O enunciado pede:
(a) massa específica seca \rho_{d};
(b) índice de vazios e;
(c) grau de saturação S_r;
(d) massa específica saturada \rho_{\mathrm{sat}};
(e) massa de água necessária por \mathrm{m^{3}} para atingir saturação total (resultado em \mathrm{kg/m^{3}}).

Passo 2

Definições e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada variável):
  • Umidade w é definida como w=\dfrac{M_w}{M_s}, onde M_w é massa de água e M_s é massa dos sólidos.
  • Massa específica natural (bulk density) \rho é \rho=\dfrac{M_s+M_w}{V}.
  • Massa específica seca \rho_{d} é \rho_{d}=\dfrac{M_s}{V}. Relacionando com \rho e w: \rho=\rho_{d}(1+w)\quad\Rightarrow\quad \rho_{d}=\dfrac{\rho}{1+w}.Explicação: \rho_{d}=M_s/V e \rho=(M_s+M_w)/V=M_s(1+w)/V=\rho_{d}(1+w).
  • Gravidade específica dos sólidos (ou G_s) é G_s=\dfrac{\rho_{\mathrm{s}}}{\rho_{w}}, com \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade da água).
  • Relação entre \rho_{d}, G_s e índice de vazios e: \rho_{d}=\dfrac{G_s\,\rho_{w}}{1+e}\quad\Rightarrow\quad e=\dfrac{G_s\,\rho_{w}}{\rho_{d}}-1.Explicação: massa dos sólidos por volume total é M_s/V = \rho_{w}G_s \, V_s/V e V_s/V=1/(1+e).
  • Grau de saturação S_r (fração) relaciona água, w, G_s e e: S_r=\dfrac{w\,G_s}{e}.Explicação rápida: deriva de relacionar volumes de água V_w com volume de vazios V_v usando w=M_w/M_s, G_s=M_s/(V_s\rho_w) e e=V_v/V_s.
  • Massa específica saturada (quando S_r=1) pode ser calculada por duas formas equivalentes; uso a forma direta: \rho_{\mathrm{sat}}=\rho_{w}\,\dfrac{G_s+e}{1+e}.Explicação: no estado saturado a massa total por volume é (M_s+M_w)/V = \rho_w (G_s+e)/(1+e).
  • Porosidade n é n=\dfrac{e}{1+e}. Útil para calcular massa de água por volume: em saturação total, massa de água por volume é \rho_w n.
Agora aplicamos essas fórmulas com os números dados.

Passo 3

Usando \rho_{d}=\dfrac{\rho}{1+w}:
\rho_{d}=\dfrac{1680}{1+0,18}=\dfrac{1680}{1,18}.
Fazendo a divisão:
\rho_{d}=\dfrac{1680}{1,18}= \dfrac{84000}{59}\approx1423,728813559322\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando convenientemente para duas casas decimais:
\rho_{d}\approx1423,73\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Primeiro calcule G_s:
G_s=\dfrac{\rho_{\mathrm{s}}}{\rho_{w}}=\dfrac{2730}{1000}=2,73.
Usando e=\dfrac{G_s\,\rho_{w}}{\rho_{d}}-1:
e=\dfrac{2{,}73\times1000}{1423{,}728813559322}-1.
Para evitar perda numérica, usar forma fracionária exata obtida antes: \rho_{d}=84000/59, então
e=\dfrac{2730\cdot59}{84000}-1=\dfrac{161070}{84000}-1=\dfrac{77070}{84000}=\dfrac{7707}{8400}=\dfrac{2569}{2800}.
Em decimal:
e=\dfrac{2569}{2800}=0,9175.
Observação: e é adimensional (sem unidade).

Passo 5

Usando S_r=\dfrac{w\,G_s}{e}:
S_r=\dfrac{0{,}18\times2{,}73}{0{,}9175}=\dfrac{0{,}4914}{0{,}9175}\approx0{,}535615\ldots
Em porcentagem:
S_r\approx0{,}5356\quad\text{ou}\quad53{,}56\%.
Interpretação prática: o solo está aproximadamente 53{,}6\% saturado no estado natural.

Passo 6

Usando \rho_{\mathrm{sat}}=\rho_{w}\dfrac{G_s+e}{1+e}:
Colocando os valores:
\rho_{\mathrm{sat}}=1000\cdot\dfrac{2{,}73+0{,}9175}{1+0{,}9175}=1000\cdot\dfrac{3{,}6475}{1{,}9175}.
Fazendo a divisão:
\rho_{\mathrm{sat}}\approx1000\cdot1{,}9022164\approx1902{,}22\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Verificação alternativa: \rho_{\mathrm{sat}}=\rho_{d}+\rho_{w}\dfrac{e}{1+e} dá o mesmo resultado.)

Passo 7

Entendendo o que se pede: queremos a massa adicional de água por metro cúbico de solo que leva o solo do estado atual (com S_r calculado em

Passo 8

  • Massa de água atual por volume (kg de água por \mathrm{m^{3}}) é M_{w,\text{atual}}/V=\rho-\rho_{d}. Calculando:
    M_{w,\text{atual}}/V =1680-1423{,}728813559322\approx256{,}27118644\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    (Também é \rho_{d}\,w=1423{,}7288\times0{,}18\approx256{,}2712.)
  • Massa de água em saturação total por volume é \rho_{w}\,n, com n=\dfrac{e}{1+e}. Calculando n:
    n=\dfrac{0{,}9175}{1{,}9175}=\dfrac{2569}{5369}\approx0{,}478488\ldots
    Logo massa de água em saturação:
    M_{w,\text{sat}}/V=\rho_{w}\,n=1000\cdot\dfrac{2569}{5369}\approx478{,}488\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Massa adicional necessária por \mathrm{m^{3}}:
    \Delta M_w = M_{w,\text{sat}}/V - M_{w,\text{atual}}/V \approx478{,}488-256{,}27118644\approx222{,}21681356\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando:
\Delta M_w\approx222{,}22\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Resposta

(a) \rho_{d}=1423{,}73\\ \mathrm{kg/m^{3}}
(b) e=0{,}9175
(c) S_r=0{,}5356 (ou 53{,}56\%)
(d) \rho_{\mathrm{sat}}=1902{,}22\\ \mathrm{kg/m^{3}}
(e) \Delta M_{w}=222{,}22\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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