Em um solo saturado é conhecido o peso específico de 20,1 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e o teor de umidade correspondente a este estado de 23 \%. Pede-se calcular o peso específico real dos grãos sólidos.

Passo 1

O enunciado dá o peso específico do solo saturado e o teor de umidade no estado saturado, e pede o peso específico real dos grãos sólidos.
Informações fornecidas:
  • Peso específico do solo saturado: \gamma_{\text{sat}} = 20{,}1\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Teor de umidade correspondente ao estado saturado: w = 23\% = 0{,}23.
O que se pede:
  • Calcular o peso específico real dos grãos sólidos \gamma_s (ou seja, o peso específico da própria matéria sólida dos grãos, em \mathrm{kN/m^3}).

Passo 2

Vamos definir as grandezas e as relações básicas (explicando cada passo com calma).
  • w (teor de umidade): razão entre massa de água e massa de sólidos,
w=\frac{m_w}{m_s}.
  • V_s = volume dos sólidos; V_w = volume da água (nos vazios, no caso saturado); V = volume total = V_s+V_w.
  • Razão de vazios e: \displaystyle e=\frac{V_v}{V_s}. No estado saturado V_v=V_w, logo e=\dfrac{V_w}{V_s}.
  • Gravidade específica dos sólidos (número adimensional) G_s: razão entre a massa específica (densidade) dos sólidos \rho_s e da água \rho_w,
G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}.
  • Peso específico da água (valor prático): \gamma_w=\rho_w g. Usaremos \gamma_w=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3} (valor usual).
Agora relacionamos w, e e G_s. Começamos pela definição de w:
w=\frac{m_w}{m_s}=\frac{\rho_w V_w}{\rho_s V_s}=\frac{\rho_w}{\rho_s}\cdot\frac{V_w}{V_s}.
Como \dfrac{V_w}{V_s}=e e \dfrac{\rho_w}{\rho_s}=\dfrac{1}{G_s}, obtemos
w=\frac{e}{G_s}\quad\Longrightarrow\quad e=G_s\,w.

Passo 3

Agora relacionamos \gamma_{\text{sat}} com G_s e e. Pelo significado de peso específico (peso por volume total),
\gamma_{\text{sat}}=\frac{W_s+W_w}{V}=\frac{m_s g + m_w g}{V}=g\frac{\rho_s V_s + \rho_w V_w}{V}.
Dividindo numerador e denominador por \rho_w g (ou seja, escrevendo em função de \gamma_w) e usando V=V_s(1+e), obtemos a relação clássica
\frac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}=\frac{G_s+e}{1+e}.
Essa fórmula é muito usada em mecânica dos solos: interpreta o peso específico saturado em função da gravidade específica dos sólidos e da razão de vazios.

Passo 4

Substituímos e=G_s w na relação anterior para eliminar e e ficar só com G_s e dados conhecidos:
\frac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}=\frac{G_s+e}{1+e}=\frac{G_s+G_s w}{1+G_s w} =\frac{G_s(1+w)}{1+G_s w}.
Denotando A=\dfrac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}, temos
A=\frac{G_s(1+w)}{1+G_s w}.
Resolvendo essa equação para G_s:
A(1+G_s w)=G_s(1+w)\quad\Rightarrow\quad A + A G_s w = G_s(1+w).
Isolando G_s,
A = G_s\bigl((1+w)-A w\bigr)\quad\Longrightarrow\quad G_s=\frac{A}{(1+w)-A w}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos.
Primeiro calculamos A:
A=\frac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}=\frac{20{,}1}{9{,}81}\approx 2{,}0486.
Calculamos o denominador (1+w)-A w:
1+w=1+0{,}23=1{,}23,
A w \approx 2{,}0486\times 0{,}23 \approx 0{,}4712,
(1+w)-A w \approx 1{,}23 - 0{,}4712 \approx 0{,}7588.
Logo
G_s \approx \frac{2{,}0486}{0{,}7588}\approx 2{,}6997\approx 2{,}70.

Passo 6

O peso específico real dos grãos sólidos \gamma_s está ligado a G_s por
\gamma_s = G_s\,\gamma_w.
Substituindo os valores:
\gamma_s \approx 2{,}6997\times 9{,}81 \approx 26{,}48\\ \mathrm{kN/m^3}.
Arredondando de forma prática, \gamma_s\approx 26{,}5\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado obtido significa que a matéria sólida tem peso específico típico de minerais comuns (entre 26 e 27 kN/m^3). Mandou bem pedindo passo a passo — com essas relações fica relativamente direto em prova: lembrar das fórmulas \,e=G_s w e \,\gamma_{\text{sat}}/\gamma_w=(G_s+e)/(1+e) é a chave.

Resposta

\gamma_s \approx 26{,}48\\ \mathrm{kN/m^3}

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