Um solo saturado tem um peso específico natural de 18,83 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e teor de umidade natural de 32,5 \%. Calcular:
a) Índice de vazios;
b) Peso específico dos grãos sólidos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já transformadas para notação útil):
  • Peso específico natural do solo saturado: \gamma_{\text{sat}}=18{,}83\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
  • Teor de umidade natural: w=32{,}5\%=0{,}325.
  • O solo é saturado, isto é, a saturação S=100\% (ou S=1).
O que se pede:
  • (a) calcular o índice de vazios e (índice de vazios = razão entre volume de vazios e volume de sólidos);
  • (b) calcular o peso específico dos grãos sólidos \gamma_s (peso específico dos grãos = peso por volume dos sólidos).

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas básicas e definir as variáveis (explicação didática):
  • \gamma_{\text{sat}} é o peso específico do solo quando todos os vazios estão preenchidos por água.
  • G_s é a gravidade específica dos grãos (adimensional), definida como a razão entre a massa específica dos grãos e a massa específica da água.
  • \gamma_w é o peso específico da água. Usaremos \gamma_w=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}} (valor padrão).
  • e é o índice de vazios: e=V_v/V_s, onde V_v é o volume de vazios e V_s é o volume de sólidos.
  • w é o teor de umidade: w=W_w/W_s, razão entre peso (ou massa) de água e peso (ou massa) dos sólidos.
Para solo saturado existe a relação clássica (derivada de balanço de pesos e volumes):
\gamma_{\text{sat}}=\gamma_w\frac{G_s+e}{1+e}.
Essa fórmula vem de escrever \gamma_{\text{sat}}=(W_s+W_w)/(V_s+V_v) e usar W_s=G_s\gamma_w V_s e W_w=\gamma_w V_v.

Passo 3

Relacionamento entre w, e e G_s para solo saturado (explicação passo a passo):
Volume total V=V_s+V_v. Índice de vazios e=V_v/V_s portanto V_v=eV_s.
Peso da água:
W_w=\gamma_w V_v=\gamma_w e V_s.
Peso dos sólidos:
W_s=G_s\gamma_w V_s.
Teor de umidade:
w=\frac{W_w}{W_s}=\frac{\gamma_w e V_s}{G_s\gamma_w V_s}=\frac{e}{G_s}.
Logo, para solo saturado temos a relação direta e muito útil:
e=G_s\,w.

Passo 4

Substituímos e=G_s w na relação de \gamma_{\text{sat}} para obter uma equação em G_s. Começando de
\gamma_{\text{sat}}=\gamma_w\frac{G_s+e}{1+e},
substituindo e=G_s w:
\gamma_{\text{sat}}=\gamma_w\frac{G_s+G_s w}{1+G_s w}=\gamma_w\frac{G_s(1+w)}{1+G_s w}.
Definindo r=\dfrac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}, obtemos
r=\frac{G_s(1+w)}{1+G_s w}.
Agora resolvemos essa equação para G_s. Multiplicando ambos os lados por (1+G_s w):
r(1+G_s w)=G_s(1+w).
Expandindo:
r + r G_s w = G_s + G_s w.
Colocando os termos com G_s em evidência:
r = G_s\bigl(1 + w - r w\bigr).
Portanto
G_s=\frac{r}{\,1 + w - r w\,}, \qquad\text{onde}\qquad r=\frac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente passo a passo.
Primeiro calcule r:
r=\frac{\gamma_{\text{sat}}}{\gamma_w}=\frac{18{,}83}{9{,}81}\approx 1{,}91946.
Calcule o denominador 1+w-rw:
1+w-rw=1+0{,}325-1{,}91946\cdot0{,}325.
Calcule 1{,}91946\cdot0{,}325:
1{,}91946\cdot0{,}325\approx0{,}6238245.
Então
1+w-rw\approx1{,}325-0{,}6238245=0{,}7011755.
Agora G_s:
G_s=\frac{r}{1+w-rw}\approx\frac{1{,}91946}{0{,}7011755}\approx2{,}7375.
Arredondando de forma sensata, \,G_s\approx2{,}738.

Passo 6

Com G_s encontrado, calculamos o índice de vazios e usando e=G_s w:
e=G_s w\approx2{,}7375\cdot0{,}325\approx0{,}8896875.
Arredondando, \,e\approx0{,}890 (adimensional).

Passo 7

Finalmente, calculamos o peso específico dos grãos sólidos \gamma_s. Por definição:
\gamma_s=G_s\,\gamma_w.
Substituindo valores:
\gamma_s\approx2{,}7375\cdot9{,}81\approx26{,}8549\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
Arredondando, \gamma_s\approx26{,}85\\ \mathrm{kN/m^{3}}.

Passo 8

Resumo e checagem rápida: os valores fazem sentido físico (gravidade específica G_s entre 2{,}6 e 2{,}8 é típico de solos minerais; e menor que 1 é plausível; \gamma_s próximo a 26{,}8\\ \mathrm{kN/m^{3}} também é coerente).

Resposta

e\approx0{,}890
\gamma_s\approx26{,}85\\ \mathrm{kN/m^{3}}

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