Um solo saturado tem teor de umidade de 42 \% e peso específico relativo dos grãos sólidos de 2,68 . Calcule o índice de vazios, a porosidade e o peso específico natural do solo.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes dados diretamente do enunciado):
  • Teor de umidade: \,w = 42\% = 0{,}42.
  • Peso específico relativo dos grãos (gravidade específica): \,G_s = 2{,}68.
  • Solo totalmente saturado, logo grau de saturação: \,S = 1.
O que é pedido:
  • Índice de vazios \,e.
  • Porosidade \,n.
  • Peso específico natural do solo \,\gamma (como o solo está saturado, é o peso específico saturado).

Passo 2

Vamos entender e deduzir a fórmula que liga \,w, \,S, \,G_s e \,e. Primeiro as definições e relações básicas:
  • Índice de vazios: \,e = \dfrac{V_v}{V_s}, onde \,V_v é volume de vazios e \,V_s é volume de sólidos.
  • Grau de saturação: \,S = \dfrac{V_w}{V_v}, onde \,V_w é volume de água presente nos vazios.
  • Gravidade específica dos grãos: \,G_s = \dfrac{\rho_s}{\rho_w}, onde \rho_s é a massa específica dos sólidos e \rho_w a da água.
  • Teor de umidade (massa): \,w = \dfrac{m_w}{m_s}, onde \,m_w é massa de água e \,m_s massa de sólidos.
Agora relacionamos volumes e massas (fazendo a dedução para entender bem):
  • Massa dos sólidos: \,m_s = \rho_s V_s = G_s \rho_w V_s.
  • Volume de água: \,V_w = S V_v = S e V_s.
  • Massa da água: \,m_w = \rho_w V_w = \rho_w S e V_s.
Substituindo em \,w = m_w/m_s:
w = \frac{\rho_w S e V_s}{G_s \rho_w V_s} = \frac{S e}{G_s}.
Isolando \,e:
e = \frac{w\,G_s}{S}.
Esta fórmula é fundamental: para solo saturado ( S=1) simplifica para \,e = w\,G_s.

Passo 3

Calcular o índice de vazios usando \,e = \dfrac{w\,G_s}{S} com \,w=0{,}42, \,G_s=2{,}68 e \,S=1:
e = 0{,}42 \times 2{,}68 = 1{,}1256.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar \,e \approx 1{,}126.

Passo 4

Agora a porosidade \,n. Definição:
n = \frac{V_v}{V} = \frac{V_v}{V_s+V_v}.
Em termos de \,e (já que e = V_v/V_s) temos:
n = \frac{e}{1+e}.
Substituindo \,e = 1{,}1256:
n = \frac{1{,}1256}{1 + 1{,}1256} = \frac{1{,}1256}{2{,}1256} \approx 0{,}52941.
Em porcentagem:
n \approx 52{,}94\%.

Passo 5

Agora o peso específico natural \,\gamma (peso por unidade de volume). Uma forma prática e comum de calcular é esta fórmula (valida em geral para solo saturado ou não, usando o teor de umidade):
Derivação curta: massa total por volume é \dfrac{m_s+m_w}{V}. Com m_s = G_s \rho_w V_s, m_w = w m_s e V = V_s(1+e), obtém-se:
\gamma = \frac{m_s(1+w)}{V}\,g = \frac{G_s \rho_w (1+w) V_s}{(1+e)V_s}\,g.
Reconhecendo \gamma_w = \rho_w g (peso específico da água), obtemos a forma prática:
\gamma = \frac{G_s(1+w)}{1+e}\,\gamma_w.
Explicando as variáveis:
  • \gamma é o peso específico do solo (em \text{kN/m}^3 tipicamente).
  • \gamma_w é o peso específico da água: \gamma_w \approx 9{,}81\\ \text{kN/m}^3.
  • \,w em forma decimal, \,e obtido antes.

Passo 6

Calcular numericamente \gamma usando \,G_s=2{,}68, \,w=0{,}42, \,e=1{,}1256 e \gamma_w=9{,}81\\ \text{kN/m}^3:
Primeiro o fator:
\frac{G_s(1+w)}{1+e}=\frac{2{,}68\,(1+0{,}42)}{1+1{,}1256}=\frac{2{,}68\times1{,}42}{2{,}1256}=\frac{3{,}8056}{2{,}1256}\approx1{,}78968.
Portanto
\gamma = 1{,}78968\times 9{,}81 \approx 17{,}567\\ \text{kN/m}^3.
Arredondando: \gamma \approx 17{,}57\\ \text{kN/m}^3.

Passo 7

Resumo rápido para a prova (macete): para solo saturado use sempre \,e = w\,G_s (com w decimal). Depois n = e/(1+e). Para peso específico: \gamma=\dfrac{G_s(1+w)}{1+e}\,\gamma_w. Fazendo as contas com calma, dá para resolver rapidinho na prova. Força aí — tá indo bem!

Resposta

e \approx 1{,}126
n \approx 0{,}5294 \; (52{,}94\%)
\gamma \approx 17{,}57\\ \text{kN/m}^3

Exercícios relacionados