Uma solução aquosa de celulose contém 5,2 \% de celulose em massa. Quantos quilogramas de uma solução de 1,2% são necessários para diluir 100 kg de uma solução de 5,2 \% para 4,2 \% ?
R:33,33kg

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantos quilogramas de uma solução com 1{,}2\% de celulose são necessários para diluir 100 kg de uma solução com 5{,}2\% de celulose até obter uma solução final com 4{,}2\%.
Dados fornecidos:
  • massa da solução inicial: 100\\ \text{kg};
  • concentração da solução inicial: 5{,}2\\ \%;
  • concentração da solução a ser adicionada: 1{,}2\\ \%;
  • concentração desejada após a mistura: 4{,}2\\ \%.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): porcentagem em massa indica a fração da massa que é soluto (aqui, celulose). Por exemplo, 5{,}2\% significa que, em cada 100\\ \text{kg} dessa solução, há 5{,}2\\ \text{kg} de celulose. Na diluição, a massa total de soluto é conservada (não se perde nem se cria celulose), só muda a massa total da solução.
Defino a variável a encontrar:
  • seja x a massa (em kg) da solução a 1{,}2\% que vou adicionar.
Converter porcentagens para frações decimais (para cálculos):
  • 5{,}2\% = 0,052,
  • 1{,}2\% = 0,012,
  • 4{,}2\% = 0,042.

Passo 3

Montar a equação pela conservação da massa de soluto (celulose):
a massa de celulose antes + massa de celulose adicionada = massa de celulose depois.
Escrevendo em símbolos:
100\cdot 0,052 + x\cdot 0,012 = (100 + x)\cdot 0,042.
Explicando cada termo:
  • 100\cdot 0,052 é a massa de celulose já presente (kg);
  • x\cdot 0,012 é a massa de celulose que vem na solução adicionada (kg);
  • (100+x)\cdot 0,042 é a massa total de celulose na mistura final (massa total (100+x) vezes a fração 0,042).

Passo 4

Resolver a equação passo a passo.
Primeiro calcule 100\cdot 0,052:
100\cdot 0,052 = 5,2.
Substituindo na equação:
5,2 + 0,012x = 4,2 + 0,042x.
Isolar x: subtrai 4,2 de ambos os lados:
(5,2-4,2) + 0,012x = 0,042x
1,0 + 0,012x = 0,042x.
Passa 0,012x para o outro lado:
1,0 = 0,042x - 0,012x = 0,030x.
Logo
x = \frac{1{,}0}{0{,}030} = 33{,}\overline{3}\\ \text{kg}.
Arredondando para duas casas decimais: x \approx 33{,}33\\ \text{kg}.

Passo 5

Verificação (checar se faz sentido): massa de celulose adicionada é 0,012\cdot 33{,}333\ldots = 0,4\\ \text{kg}. Massa total de celulose depois é 5,2 + 0,4 = 5,6\\ \text{kg}. Massa total da solução final é 100 + 33{,}333\ldots = 133{,}333\ldots\\ \text{kg}. Fração de celulose:
\frac{5{,}6}{133{,}333\ldots} = 0{,}042 = 4{,}2\%,
portanto conferido — a conta está correta.

Passo 6

Dica rápida para prova (atalho): a fórmula direta para a massa m_2 da solução de concentração C_2 necessária para diluir m_1 de concentração C_1 até C_f é
m_2 = m_1\cdot\frac{C_1 - C_f}{C_f - C_2},
desde que as concentrações sejam expressas na mesma unidade (por ex. fração decimal ou %). Aplicando aqui: m_2=100\cdot\dfrac{5{,}2-4{,}2}{4{,}2-1{,}2}=100\cdot\dfrac{1{,}0}{3{,}0}=33{,}33\\ \text{kg}.

Resposta

33{,}33\\ \text{kg}

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