Uma solução aquosa contendo 7,2 \% (em massa) de um sal dissolvido precisa ser diluída até a concentração 0,4 \%. Que vazão mássica de água pura seria necessária para dissolver 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} dessa solução?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a vazão mássica de água pura necessária para diluir uma solução de sal. Dados fornecidos:
  • Vazão da solução inicial: m_1 = 10\\ \mathrm{kg/h}.
  • Concentração da solução inicial: c_1 = 7,2\\ \% (em massa).
  • Concentração desejada após diluição: c_2 = 0,4\\ \% (em massa).
  • A água adicionada é pura, portanto sua concentração de sal é c_w = 0\\ \%.
    A pergunta é: qual deve ser a vazão mássica de água m_w (em \mathrm{kg/h}) para obter a concentração final c_2?

Passo 2

Entendendo fração em massa (concentração em %):
  • Quando o enunciado dá 7,2\\ \%, isso significa que a fração em massa é \dfrac{7,2}{100}=0,072.
  • Quando dá 0,4\\ \%, a fração em massa é \dfrac{0,4}{100}=0,004.
    Então, em notação decimal:
c_1 = 0,072,\qquad c_2 = 0,004,\qquad c_w = 0.
Explicação rápida: fração em massa (ou massa fracionária) é a massa do soluto dividida pela massa total da solução. Trabalhar com frações (0,072) evita confusão na conta.

Passo 3

Princípio físico usado: conservação da massa do soluto na mistura (o sal não some nem é produzido ao misturar com água). Portanto a massa de soluto antes da diluição é igual à massa de soluto depois da diluição.
Escrevendo a equação de balanço de soluto:
m_1 c_1 + m_w c_w = (m_1 + m_w) c_2.
Aqui:
  • m_1 é a vazão mássica da solução inicial ( \mathrm{kg/h}).
  • c_1 é a fração em massa do soluto na solução inicial (adimensional).
  • m_w é a vazão mássica de água pura (incógnita).
  • c_w é a fração em massa do soluto na água (zero).
  • m_1 + m_w é a vazão mássica total após mistura.
  • c_2 é a fração em massa desejada após mistura.
Como c_w=0, a equação simplifica para:
m_1 c_1 = (m_1 + m_w) c_2.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos na equação e resolver para m_w.
Substituição:
10 \times 0,072 = (10 + m_w)\times 0,004.
Calcular o produto à esquerda:
10 \times 0,072 = 0,72.
Então:
0,72 = (10 + m_w)\times 0,004.
Isolando 10 + m_w:
10 + m_w = \dfrac{0,72}{0,004}.
Fazendo a divisão (mostro passo a passo):
\dfrac{0,72}{0,004} = \dfrac{72}{4} = 18 \times 10 = 180.
(ou simplesmente observar que multiplicando numerador e denominador por 1000 720/4=180).
Logo:
10 + m_w = 180 \quad\Rightarrow\quad m_w = 180 - 10 = 170.

Passo 5

Verificação rápida (cheque de consistência): massa de soluto inicial é 0,72\\ \mathrm{kg/h}. Massa total final será 10+170=180\\ \mathrm{kg/h}. Fração final:
\dfrac{0,72}{180}=0,004,
que corresponde a 0,4\\ \%. Portanto a conta está correta.

Passo 6

Interpretação e unidade: a vazão mássica m_w encontrada está em \mathrm{kg/h}, portanto é a massa de água por hora que deve ser adicionada para alcançar a diluição exigida. Dá para pensar intuitivamente: como a concentração precisa cair bastante (de 7,2\\ \% para 0,4\\ \%), é necessário adicionar muita água comparada à solução inicial.

Resposta

170\\ \mathrm{kg/h}

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