Uma solução aquosa com uma densidade relativa de 1,12 escoa através de um canal com uma seção transversal variável. Dados obtidos em duas posições axiais no canal são mostrados abaixo.
Ponto 1
Ponto 2
O ponto 2 está 6,00 metros acima do ponto 1 .
a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade no ponto 2 .
b) Se o diâmetro da tubulação no ponto 2 é
. qual é o diâmetro no ponto 1 ?
| Ponto 1 | Ponto 2 | |
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a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade no ponto 2 .
b) Se o diâmetro da tubulação no ponto 2 é
Passo 1
O enunciado dá uma solução aquosa com densidade relativa
escoando num canal com seção variável. Foram medidas grandezas em dois pontos (1 e 2). O que nos pedem:
- (a) Desprezando atrito, calcular a velocidade no ponto 2.
- (b) Sabendo que o diâmetro no ponto 2 é
, calcular o diâmetro no ponto 1.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Também precisamos da densidade absoluta do fluido. Como a densidade relativa é em relação à água (
):
O que vamos usar: conservação de energia (Bernoulli, sem atrito) entre 1 e 2 para (a), e conservação de massa (continuidade) para (b).
Passo 2
Breve aula sobre o princípio que vamos usar (Bernoulli), com definição das variáveis.
Bernoulli (para escoamento incompressível, sem perda por atrito) entre dois pontos 1 e 2 diz que a soma da pressão estática, energia cinética por unidade de volume e energia potencial por unidade de volume é constante:
Onde:
-
é a pressão (em ), -
é a densidade do fluido (em ), -
é a velocidade do fluido (em ), -
é a aceleração da gravidade (vou usar ), -
é a cota vertical (em ).
Explicação intuitiva: pressão, velocidade e altura trocam energia entre si. Se a pressão cai e/ou a altura aumenta, a velocidade pode diminuir, e vice-versa.
Também usaremos a equação da continuidade (conservação de massa) para escoamento incompressível:
onde
é a área da seção transversal. Como
, isso implica
Isso nos dará o diâmetro
a partir de
.
Passo 3
Isolando
na equação de Bernoulli. Começamos da forma:
Subtraindo
e
ambos os lados e isolando o termo
:
Multiplicando por
para obter
:
Note que
porque o ponto 2 está acima do ponto 1.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo:
Primeiro o termo de pressão:
O fator
:
O termo da altura:
O termo da velocidade inicial:
Somando na fórmula de
:
Passo 5
Agora tiramos a raiz quadrada para obter
:
Interpretação rápida: a combinação de perda de pressão e aumento de altura faz a velocidade cair bastante (de
para cerca de
).
Passo 6
Agora parte (b): usar continuidade para achar
.
A continuidade dá:
Como
, temos
Tomando raiz:
Passo 7
Substituindo os valores numéricos (usando
calculado):
Primeiro a razão de velocidades:
A raiz:
Logo
Passo 8
Checagem rápida de consistência:
é menor que
porque a velocidade no ponto 1 (
) é maior que em 2 (
), então para conservar massa a seção em 1 deve ser menor — faz sentido físico. Bom trabalho por chegar até aqui — você conseguiu conectar Bernoulli com continuidade!
Resposta
a)
b)
b)