(0,3) Uma solução aquosa com uma densidade relativa de 1,12 escoa através de um canal com uma seção transversal variável. Dados obtidos em duas posições axiais no canal são mostrados abaixo.
Ponto 1 Ponto 2
P_{\text {relativa }} 1,5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} 9.77 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}
u 5,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
O ponto 2 está 6,00 metros acima do ponto 1 .
a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade no ponto 2 .
b) Se o diâmetro da tubulação no ponto 2 é 6,00 \mathrm{~cm}. qual é o diâmetro no ponto 1 ?

Passo 1

O enunciado dá uma solução aquosa com densidade relativa 1,12 escoando num canal com seção variável. Foram medidas grandezas em dois pontos (1 e 2). O que nos pedem:
  • (a) Desprezando atrito, calcular a velocidade no ponto 2.
  • (b) Sabendo que o diâmetro no ponto 2 é 6,00\\ \mathrm{cm}, calcular o diâmetro no ponto 1.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\rho_{\text{relativa}}=1,12
P_1 = 1,5\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
P_2 = 9,77\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}
u_1 = 5,00\\ \mathrm{m/s}
z_2 - z_1 = +6,00\\ \mathrm{m}\quad(\text{o ponto 2 está 6,00 m acima do 1})á
d_2 = 6,00\\ \mathrm{cm} = 0,0600\\ \mathrm{m}
Também precisamos da densidade absoluta do fluido. Como a densidade relativa é em relação à água ( 1000\\ \mathrm{kg/m^3}):
\rho = 1,12\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3} = 1120\\ \mathrm{kg/m^3}.
O que vamos usar: conservação de energia (Bernoulli, sem atrito) entre 1 e 2 para (a), e conservação de massa (continuidade) para (b).

Passo 2

Breve aula sobre o princípio que vamos usar (Bernoulli), com definição das variáveis.
Bernoulli (para escoamento incompressível, sem perda por atrito) entre dois pontos 1 e 2 diz que a soma da pressão estática, energia cinética por unidade de volume e energia potencial por unidade de volume é constante:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho u_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho u_2^2 + \rho g z_2.
Onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^3}),
  • u é a velocidade do fluido (em \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • z é a cota vertical (em \mathrm{m}).
Explicação intuitiva: pressão, velocidade e altura trocam energia entre si. Se a pressão cai e/ou a altura aumenta, a velocidade pode diminuir, e vice-versa.
Também usaremos a equação da continuidade (conservação de massa) para escoamento incompressível:
A_1 u_1 = A_2 u_2,
onde A é a área da seção transversal. Como A=\tfrac{\pi d^2}{4}, isso implica
\frac{A_1}{A_2}=\frac{u_2}{u_1}\quad\Rightarrow\quad\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{u_2}{u_1}}.
Isso nos dará o diâmetro d_1 a partir de d_2.

Passo 3

Isolando u_2 na equação de Bernoulli. Começamos da forma:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho u_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho u_2^2 + \rho g z_2.
Subtraindo P_2 e \rho g z_2 ambos os lados e isolando o termo \tfrac{1}{2}\rho u_2^2:
\tfrac{1}{2}\rho u_2^2 = \tfrac{1}{2}\rho u_1^2 + (P_1-P_2) + \rho g (z_1 - z_2).
Multiplicando por 2/\rho para obter u_2^2:
u_2^2 = u_1^2 + \frac{2(P_1-P_2)}{\rho} + 2g(z_1 - z_2).
Note que z_1 - z_2 = -6,00\\ \mathrm{m} porque o ponto 2 está acima do ponto 1.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo:
Primeiro o termo de pressão:
P_1-P_2 = 1,5\times 10^{5} - 9,77\times 10^{4} = 5,23\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
O fator \dfrac{2(P_1-P_2)}{\rho}:
\frac{2\,(5,23\times 10^{4})}{1120} = \frac{1,046\times 10^{5}}{1120} \approx 93,392857\\ \mathrm{m^2/s^2}.
O termo da altura:
2g(z_1 - z_2) = 2\cdot 9,81\cdot(-6{,}00) = -117{,}72\\ \mathrm{m^2/s^2}.
O termo da velocidade inicial:
u_1^2 = (5{,}00)^2 = 25{,}00\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Somando na fórmula de u_2^2:
u_2^2 = 25{,}00 + 93{,}392857 - 117{,}72 = 0{,}672857\\ \mathrm{m^2/s^2}.

Passo 5

Agora tiramos a raiz quadrada para obter u_2:
u_2 = \sqrt{0{,}672857}\approx 0{,}820\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a combinação de perda de pressão e aumento de altura faz a velocidade cair bastante (de 5{,}00\\ \mathrm{m/s} para cerca de 0{,}82\\ \mathrm{m/s}).

Passo 6

Agora parte (b): usar continuidade para achar d_1.
A continuidade dá:
A_1 u_1 = A_2 u_2.
Como A = \tfrac{\pi d^2}{4}, temos
\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{u_2}{u_1}.
Tomando raiz:
d_1 = d_2\sqrt{\frac{u_2}{u_1}}.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos (usando u_2 calculado):
Primeiro a razão de velocidades:
\frac{u_2}{u_1} = \frac{0{,}820}{5{,}00} = 0{,}164.
A raiz:
\sqrt{\frac{u_2}{u_1}} = \sqrt{0{,}164} \approx 0{,}405.
Logo
d_1 = 0{,}0600\\ \mathrm{m}\times 0{,}405 \approx 0{,}02430\\ \mathrm{m} = 2{,}43\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Checagem rápida de consistência: d_1 é menor que d_2 porque a velocidade no ponto 1 ( 5{,}00\\ \mathrm{m/s}) é maior que em 2 ( 0{,}820\\ \mathrm{m/s}), então para conservar massa a seção em 1 deve ser menor — faz sentido físico. Bom trabalho por chegar até aqui — você conseguiu conectar Bernoulli com continuidade!

Resposta

a) 0,820\\ \mathrm{m/s}
b) 2,43\\ \mathrm{cm}

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