Questão 1 ( \mathbf{2 , 5} pontos)

O cilindro interno C_{i}\left(d_{i}=15 \mathrm{~cm}\right. e \left.\mathrm{L}=50 \mathrm{~cm}\right) pesa 10 kg (vazio). Ele se encontra no interior de outro cilindro externo \mathrm{C}_{0} ( \mathrm{d}_{0}= 15,05 \mathrm{~cm} ) e é deslocado para cima com o auxilio de uma força { }^{\top} de 292 N . O espaço entre os dois cilindros contém um óleo de viscosidade cinemática de 0,0025 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e peso especifico de 8000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}.
Determine a velocidade constante de subida do cilindro quando sâo introduzidos 0,008 \mathrm{~m}^{3} de um combustivel com massa especifica de 875 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro interno e outro externo concêntricos, com um fluido (óleo) no espaço entre eles. Pede a velocidade constante de subida do cilindro interno quando se introduzem 0,008\\ \mathrm{m}^3 de combustível no sistema, sabendo que uma força de 292\\ \mathrm{N} puxa o cilindro para cima. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do cilindro interno: } d_i=15\\ \mathrm{cm}=0{,}150\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento do cilindro: } L=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m},\\\ &\text{massa do cilindro (vazio): } m_{c}=10\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{diâmetro do cilindro externo: } d_0=15{,}05\\ \mathrm{cm}=0{,}1505\\ \mathrm{m},\\\ &\text{força aplicada para cima: } F=292\\ \mathrm{N},\\\ &\text{óleo: viscosidade cinemática } \nu=0{,}0025\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\\ &\text{óleo: peso específico } \gamma_{\text{o}}=8000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3,\\\ &\text{combustível introduzido: } V_{\text{comb}}=0{,}008\\ \mathrm{m}^3,\\\ &\text{massa específica do combustível: } \rho_{\text{comb}}=875\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. \end{aligned}ââçóáóíííí
O que se pede: a velocidade constante de subida do cilindro interno (ou seja, a velocidade em regime onde forças se equilibram).

Passo 2

Calcular geometria e volume do cilindro (será útil para empuxo):
r_i=\frac{d_i}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m},\qquad r_o=\frac{d_0}{2}=0{,}07525\\ \mathrm{m}.
Área da base do cilindro interno:
A=\pi r_i^2=\pi (0{,}075)^2=\pi\cdot 0{,}005625\approx 0{,}0176715\\ \mathrm{m}^2.
Volume do cilindro (deslocado pelo fluido):
V_{\text{cil}}=A\cdot L\approx 0{,}0176715\cdot 0{,}5=0{,}0088357\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Calcular massa e peso do combustível introduzido e peso total do cilindro com combustível.
Massa do combustível:
m_{\text{comb}}=\rho_{\text{comb}}\;V_{\text{comb}}=875\cdot 0{,}008=7{,}0\\ \mathrm{kg}.
Massa total:
m_{\text{tot}}=m_c+m_{\text{comb}}=10+7=17\\ \mathrm{kg}.
Peso total (usando g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2):
W=m_{\text{tot}}\,g=17\cdot 9{,}81=166{,}77\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular empuxo (força de Arquimedes). O enunciado deu o peso específico do óleo \gamma_{\text{o}}=8000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3. Empuxo é o peso do volume de óleo deslocado:
B=\gamma_{\text{o}}\,V_{\text{cil}}=8000\cdot 0{,}0088357\approx 70{,}6858\\ \mathrm{N}.
Explicação didática: o peso específico \gamma é o peso por unidade de volume ( \gamma=\rho g). Multiplicando pelo volume deslocado obtemos a força de empuxo que atua para cima sobre o cilindro.

Passo 5

Converter a viscosidade cinemática \nu em viscosidade dinâmica \mu (necessária para forças viscosas). Relação:
\mu=\rho_{\text{o}}\\ \nu,\quad\text{onde }\rho_{\text{o}}=\frac{\gamma_{\text{o}}}{g}.
Calculemos \rho_{\text{o}} e \mu:
\rho_{\text{o}}=\frac{8000}{9{,}81}\approx 815{,}486\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
\mu=\rho_{\text{o}}\nu=815{,}486\cdot 0{,}0025\approx 2{,}03872\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Comentário: \nu tem unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}; multiplicando por \rho obtemos \mu em \mathrm{Pa\cdot s}, a viscosidade dinâmica usada em leis de cisalhamento.

Passo 6

Derivar a força de arrasto viscoso axial para um cilindro interno movendo-se coaxialmente no interior de um cilindro externo cheio de fluido (caso de escoamento puramente viscous, sem gradiente de pressão axial). Método e fórmula:
  • Para escoamento axial estacionário sem pressão axial, a equação em coordenadas cilíndricas para a velocidade axial u(r) reduz a resolver
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=0.
  • Integrando duas vezes obtemos
u(r)=C_1\ln r + C_2,
com as condições de contorno u(r_i)=V (velocidade do cilindro interno) e u(r_o)=0 (caso o cilindro externo esteja fixo). Resolvendo para as constantes chega-se a
u(r)=\frac{V\ln\left(\dfrac{r}{r_o}\right)}{\ln\left(\dfrac{r_i}{r_o}\right)}.
  • O cisalhamento na superfície do cilindro interno é \tau_{rz}=\mu \dfrac{du}{dr}\big|_{r=r_i}. Integrando o cisalhamento sobre a área lateral 2\pi r_i L obtemos a força viscosa de arrasto:
F_d=\frac{2\pi\mu L V}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Explicação intuitiva: a dependência em \ln(r_o/r_i) aparece porque a solução do Laplaciano em coordenadas cilíndricas gera funções logarítmicas; para fendas muito pequenas a razão é próxima de 1 e o denominador fica pequeno, aumentando muito a resistência.

Passo 7

Equilíbrio de forças no movimento a velocidade constante (regime): somando forças na direção vertical (positivo para cima). Forças que atuam: força aplicada F para cima, empuxo B para cima, peso W para baixo e arrasto viscoso F_d para baixo. Em regime:
F + B - W - F_d = 0 \quad\Rightarrow\quad F_d = F + B - W.
Substituindo os valores já calculados:
F_d = 292 + 70{,}6858 - 166{,}77 = 195{,}9158\\ \mathrm{N}.
Observação: esse F_d é a força viscosa que o fluido exerce sobre o cilindro; será usada para obter V.

Passo 8

Usar a fórmula do arrasto para isolar V. Primeiro calculemos \ln(r_o/r_i):
\frac{r_o}{r_i}=\frac{0{,}07525}{0{,}075}=1{,}00333333,\qquad \ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)\approx 0{,}00332778.
Constante multiplicativa:
C=\frac{2\pi\mu L}{\ln(r_o/r_i)}=\frac{2\pi\cdot 2{,}03872\cdot 0{,}5}{0{,}00332778}\approx 1{,}924{,}997\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Da expressão F_d=C\,V obtemos
V=\frac{F_d}{C}=\frac{195{,}9158}{1{,}924{,}997}\approx 0{,}10178\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com precisão razoável (três algarismos significativos):
V\approx 0{,}102\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

0{,}102\\ \mathrm{m/s}

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