O cilindro interno C_{i}\left(d_{i}=15 \mathrm{~cm}\right. e \left.\mathrm{L}=50 \mathrm{~cm}\right) pesa 10 kg (vazio). Ele se encontra no interior de outro cilindro externo \mathrm{C}_{0} ( \mathrm{d}_{0}= 15,05 \mathrm{~cm} ) e é deslocado para cima com o auxilio de uma força { }^{\top} de 292 N . O espaço entre os dois cilindros contém um óleo de viscosidade cinemática de 0,0025 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e peso especifico de 8000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}.
Determine a velocidade constante de subida do cilindro quando sâo introduzidos 0,008 \mathrm{~m}^{3} de um combustivel com massa especifica de 875 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro interno e outro externo concêntricos, com um fluido (óleo) no espaço entre eles. Pede a velocidade constante de subida do cilindro interno quando se introduzem 0,008\\ \mathrm{m}^3 de combustível no sistema, sabendo que uma força de 292\\ \mathrm{N} puxa o cilindro para cima. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
Calcular empuxo (força de Arquimedes). O enunciado deu o peso específico do óleo \gamma_{\text{o}}=8000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3. Empuxo é o peso do volume de óleo deslocado:
Explicação didática: o peso específico \gamma é o peso por unidade de volume (\gamma=\rho g). Multiplicando pelo volume deslocado obtemos a força de empuxo que atua para cima sobre o cilindro.
Passo 5
Converter a viscosidade cinemática \nu em viscosidade dinâmica \mu (necessária para forças viscosas). Relação:
Comentário: \nu tem unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}; multiplicando por \rho obtemos \mu em \mathrm{Pa\cdot s}, a viscosidade dinâmica usada em leis de cisalhamento.
Passo 6
Derivar a força de arrasto viscoso axial para um cilindro interno movendo-se coaxialmente no interior de um cilindro externo cheio de fluido (caso de escoamento puramente viscous, sem gradiente de pressão axial). Método e fórmula:
Para escoamento axial estacionário sem pressão axial, a equação em coordenadas cilíndricas para a velocidade axial u(r) reduz a resolver
com as condições de contorno u(r_i)=V (velocidade do cilindro interno) e u(r_o)=0 (caso o cilindro externo esteja fixo). Resolvendo para as constantes chega-se a
O cisalhamento na superfície do cilindro interno é \tau_{rz}=\mu \dfrac{du}{dr}\big|_{r=r_i}. Integrando o cisalhamento sobre a área lateral 2\pi r_i L obtemos a força viscosa de arrasto:
F_d=\frac{2\pi\mu L V}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Explicação intuitiva: a dependência em \ln(r_o/r_i) aparece porque a solução do Laplaciano em coordenadas cilíndricas gera funções logarítmicas; para fendas muito pequenas a razão é próxima de 1 e o denominador fica pequeno, aumentando muito a resistência.
Passo 7
Equilíbrio de forças no movimento a velocidade constante (regime): somando forças na direção vertical (positivo para cima). Forças que atuam: força aplicada F para cima, empuxo B para cima, peso W para baixo e arrasto viscoso F_d para baixo. Em regime:
F + B - W - F_d = 0 \quad\Rightarrow\quad F_d = F + B - W.