Em um evaporador de efeito simples evapora-se uma solução com X F=0,1. A alimentação está a 43,3^{\circ} \mathrm{C} e a vazão é de 0,67 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, sendo concentrada até 75 \% de sólidos totais. Os Cp’s da solução diluída e concentrada são, respectivamente, 3,9 e 2,3 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C}. A pressão de vapor de aquecimento é 270,1 kPa . Dentro do evaporador a temperatura é de 62,2^{\circ} \mathrm{C}. Considere epe =0^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{U}=943 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. Encontre a vazão de vapor de aquecimento, a economia do processo e a área de troca térmica.

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas: a vazão de vapor de aquecimento (vazão de vapor de serviço), a economia do processo (razão entre massa de água evaporada e massa de vapor de aquecimento consumido) e a área de troca térmica do evaporador.
Dados relevantes fornecidos:
\begin{aligned} &X_F=0{,}1 \quad(\text{fração mássica de sólidos na alimentação}),\\\ &F=0{,}67\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{vazão de alimentação}),\\\ &T_F=43{,}3^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura da alimentação}),\\\ &X_B=0{,}75\quad(\text{fração mássica de sólidos no produto concentrado}),\\\ &C_{p,\text{diluída}}=3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)},\\\ &C_{p,\text{concentrada}}=2{,}3\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)},\\\ &P_{\text{vapor}}=270{,}1\\ \mathrm{kPa}\quad(\text{pressão do vapor de aquecimento}),\\\ &T_{\text{evap}}=62{,}2^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura dentro do evaporador}),\\\ &\text{Considere }epe=0^\circ\mathrm{C}\\ (\text{sem sub-resfriamento do condensado}),\\\ &U=943\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}. \end{aligned}çãáóçããçãçãçãáóíã
Observação: usarei o balanço de massa para encontrar a vazão de vapor gerado e um balanço de energia para calcular a vazão de vapor de aquecimento. Para obter as calores latentes a partir da pressão/temperatura do vapor e da temperatura de ebulição usei valores aproximados de tabelas de vapor saturado (ver Passo 5).

Passo 2

Balanço de massa (total e de sólidos). Sólidos na alimentação:
\dot{m}_s = F X_F = 0{,}67\cdot 0{,}1 = 0{,}067\\ \mathrm{kg/s}.
Vazão de produto concentrado B obtida por conservação de sólidos:
B=\frac{\dot{m}_s}{X_B}=\frac{0{,}067}{0{,}75}=0{,}089333\\ \mathrm{kg/s}.
Vazão de vapor gerado (água evaporada) V :
V=F-B=0{,}67-0{,}089333=0{,}580667\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando razoavelmente: \displaystyle V\approx 0{,}581\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Vamos montar o balanço de energia do evaporador. O calor fornecido pelo vapor de aquecimento Q serve para:
  • Aquecer a alimentação de T_F até a temperatura de ebulição T_{\text{evap}} (sensible heat do conjunto da alimentação).
  • Evaporar a massa V de água a T_{\text{evap}} (calor latente).
    Além disso, como os calores específicos da alimentação e do produto são diferentes, um modo consistente é calcular toda a variação de entalpia entre fluxos de entrada e saída usando Cp médios. Uma forma prática e usual em problemas de evaporador (quando as temperaturas de entrada/saída são próximas e a evaporção ocorre à temperatura única T_{\text{evap}}) é somar: aquecimento da alimentação até T_{\text{evap}} mais o calor latente necessário para evaporar V. Assim:
Q = F C_{p,\text{dil}}(T_{\text{evap}}-T_F) + V\lambda_{\text{evap}}.
Aqui:
  • Q em \mathrm{kJ/s},
  • F em \mathrm{kg/s},
  • C_{p,\text{dil}} em \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)},
  • T em {}^\circ\mathrm{C},
  • \lambda_{\text{evap}} é o calor latente de vaporização à temperatura de ebulição T_{\text{evap}} (em \mathrm{kJ/kg}).
Explicação do porquê dessa fórmula (didático): todo o fluxo de alimentação precisa ser aquecido da sua temperatura inicial até a temperatura de ebulição. Uma vez na temperatura de ebulição, parte da massa (a água que se evapora) necessita de calor latente adicional para mudar de fase líquida para vapor. O produto final fica também à temperatura de ebulição, e esse aquecimento do produto já foi contabilizado como parte do aquecimento de toda a alimentação; como os Cp’s são diferentes, uma correção poderia ser feita, mas neste tipo de exercício a aproximação acima é a adotada (e consistente com os dados fornecidos).

Passo 4

Calcule o termo de aquecimento sensível da alimentação:
\begin{aligned} \Delta T &= T_{\text{evap}}-T_F = 62{,}2 - 43{,}3 = 18{,}9^\circ\mathrm{C},\\\ Q_{\text{sensible}} &= F C_{p,\text{dil}} \Delta T = 0{,}67\cdot 3{,}9\cdot 18{,}9. \end{aligned}
Façamos as contas:
3{,}9\cdot 18{,}9 = 73{,}71\quad\Rightarrow\quad Q_{\text{sensible}} = 0{,}67\cdot 73{,}71 = 49{,}36\\ \mathrm{kJ/s} = 49{,}36\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Precisamos de \lambda_{\text{evap}} (calor latente à T_{\text{evap}}=62{,}2^\circ\mathrm{C}) e do calor latente do vapor de aquecimento na sua pressão de saturação P=270{,}1\\ \mathrm{kPa} (para determinar a energia liberada por kg de vapor de aquecimento). Usei valores aproximados de tabelas de vapor saturado (tabela de propriedades da água):
  • Temperatura de ebulição no evaporador: T_{\text{evap}}=62{,}2^\circ\mathrm{C}. Valor aproximado do calor latente a essa temperatura:
\lambda_{\text{evap}}\approx 2354\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Este valor vem de tabelas; é razoável para cerca de 62^\circ\mathrm{C}.)
  • Para o vapor de aquecimento: pressão 270{,}1\\ \mathrm{kPa} corresponde a temperatura de saturação aproximadamente
T_s\approx 129{,}5^\circ\mathrm{C}.
O calor latente do vapor condensando a essa pressão é aproximadamente
\lambda_{\text{steam}}\approx 2058\\ \mathrm{kJ/kg}.
(este é um valor de tabela para saturação em torno de 130^\circ\mathrm{C}.)
Observação sobre epe=0^\circ\mathrm{C}: significa que não há sub-resfriamento do condensado (o condensado sai à temperatura de saturação do vapor). Assim todo o calor disponível por kg de vapor de aquecimento é aproximadamente \lambda_{\text{steam}}.

Passo 6

Calcule o termo de vapor (latente) necessário:
Q_{\text{latent}} = V\lambda_{\text{evap}} = 0{,}580667\cdot 2354 \approx 1366{,}9\\ \mathrm{kJ/s} =1366{,}9\\ \mathrm{kW}.
Somando com o aquecimento sensível:
Q = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latent}} = 49{,}36 + 1366{,}9 = 1416{,}3\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Vazão de vapor de aquecimento S obtida dividindo o calor total Q pelo calor liberado por kg de vapor condensado:
S=\frac{Q}{\lambda_{\text{steam}}}=\frac{1416{,}3\\ \mathrm{kW}}{2058\\ \mathrm{kJ/kg}}.
Observando que 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s}, temos:
S=\frac{1416{,}3}{2058}=0{,}6883\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando: \displaystyle S\approx 0{,}688\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Economia (effectiveness, ou “economia do processo”) é a razão entre a massa evaporada e a massa de vapor de aquecimento consumida:
\text{economia}=\frac{V}{S}=\frac{0{,}580667}{0{,}6883}=0{,}8438\approx 0{,}844.
Interpretação: com 1 kg de vapor de aquecimento evaporam-se cerca de 0{,}844 kg de água (valor típico para um efeito simples é da ordem de 0,7–1,0 dependendo das perdas e do aquecimento sensível).

Passo 9

Área de troca térmica A. A expressão básica:
Q = U A \Delta T_{\text{LM}},
onde \Delta T_{\text{LM}} é o log mean temperature difference. Aqui, o vapor de aquecimento condensa a temperatura praticamente constante T_s (saturado) e o fluido do lado da água ferve a temperatura constante T_{\text{evap}}, logo a diferença de temperatura é praticamente constante e a \Delta T_{\text{LM}} reduz-se a:
\Delta T = T_s - T_{\text{evap}} = 129{,}5 - 62{,}2 = 67{,}3^\circ\mathrm{C}.
Então
A=\frac{Q}{U\Delta T}=\frac{1416{,}3\\ \mathrm{kW}}{0{,}943\\ \mathrm{kW/(m^2\cdot^\circ C)}\cdot 67{,}3}.
Calculemos o denominador: 0{,}943\cdot 67{,}3 = 63{,}459\\ \mathrm{kW/m^2}. Portanto
A=\frac{1416{,}3}{63{,}459}=22{,}33\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando: \displaystyle A\approx 22{,}3\\ \mathrm{m^2}.

Passo 10

Resumo numérico (valores arredondados e consistentes com os passos acima):
  • Vazão de vapor gerado (evaporado): \displaystyle V\approx 0{,}581\\ \mathrm{kg/s}. (balanço de massas)
  • Vazão de vapor de aquecimento consumida: \displaystyle S\approx 0{,}688\\ \mathrm{kg/s}.
  • Economia: \displaystyle \text{economia}\approx 0{,}844.
  • Área de troca térmica: \displaystyle A\approx 22{,}3\\ \mathrm{m^2}.
Força final: tá indo bem — esses passos (balanço de massa, depois balanço de energia, depois usar U e ΔT) são a receita padrão pra prova. Se quiser, eu faço uma versão com outros valores de λ retirados de uma tabela específica para você comparar — mas a lógica e os procedimentos não mudam.

Resposta

S\approx 0{,}688\\ \mathrm{kg/s}
\text{economia}\approx 0{,}844
A\approx 22{,}3\\ \mathrm{m^2}

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