Uma solução composta por material coloidal orgânico deve ser concentrada de 10% a 40% (\mathrm{m} / \mathrm{m}) em um evaporador de tubos longos. A corrente de alimentação apresenta uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Dispõe-se de vapor d’água saturado a 1 bar { }_{\text {abs }}, e a pressão na câmara de evaporação é de 0,15 bar. O evaporador deve evaporar 20.000 \mathrm{~kg} \mathrm{~h}^{-1} de água. Sabe-se que o coeficiente global de troca térmica é de 1500 \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}. O calor específico da solução é de 4,0 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} e pode ser assumido como constante. Para este sistema coloidal a elevação do ponto de ebulição é desprezível.
a) Calcular a área de troca térmica necessária, o consumo de vapor para tal operação e a economia do evaporador. ( \boldsymbol{R}: \mathbf{A = 2 0 7} \mathbf{~ m}^{\mathbf{2}} ; \mathbf{S}=\mathbf{6 , 3 ~ k g ~ s} \mathbf{~ s}^{\mathbf{- 1}} ; \mathbf{E = 8 8 , 4 \%} )
b) Supondo que seja possível pré-aquecer a corrente de alimentação até uma temperatura da 55^{\circ} \mathrm{C}, usando um trocador disponível na planta. Determine o consumo de vapor e a economia do evaporador nestas condições. Interprete e discuta os resultados.
( R: \mathrm{S}=5,83 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} ; \mathrm{E}=95,4 \% )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Solução alimentar com concentração inicial 10\% (m/m) e concentração final 40\% (m/m).
    • Evaporador deve evaporar 20\,000\\ \mathrm{kg\\ h^{-1}} de água.
    • Temperatura de alimentação: 20^\circ\mathrm{C}.
    • Vapor d’água saturado disponível a 1\\ \mathrm{bar_{abs}}.
    • Pressão na câmara de evaporação: 0{,}15\\ \mathrm{bar}.
    • Coeficiente global de troca térmica: U = 1500\\ \mathrm{W\\ m^{-2}\\ K^{-1}}.
    • Calor específico da solução: c_p = 4{,}0\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}} (assumido constante).
    • Elevação do ponto de ebulição desprezível (ou seja, a solução ferve aproximadamente à temperatura de saturação da água na pressão considerada).
  • O que o enunciado pede:
    a) Calcular a área de troca térmica necessária A, o consumo de vapor S (em \mathrm{kg\\ s^{-1}}) e a economia do evaporador E (relação massa de água evaporada por massa de vapor consumido) para o caso sem pré-aquecimento da alimentação.
    b) Repetir o cálculo do consumo de vapor S e da economia E supondo que a alimentação é pré-aquecida a 55^\circ\mathrm{C} antes de entrar no evaporador; interpretar e discutir os resultados.
  • Observações/preparação para os cálculos:
    • Será necessário fazer balanço de massa para obter vazões de alimentação e produto.
    • Será necessário um balanço de energia: calor necessário para aquecer a alimentação até a temperatura de ebulição (sensible heating) mais calor para evaporar a massa de água desejada (calor latente).
    • Usarei temperaturas de saturação aproximadas obtidas em tabelas: vapor saturado a 1\\ \mathrm{bar_{abs}} tem T_{vapor}\approx100^\circ\mathrm{C} e h_{fg}^{(1\\ \mathrm{bar})}\approx2257\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}. A água ferve a T_b correspondente à pressão 0{,}15\\ \mathrm{bar}; usarei T_b\approx54^\circ\mathrm{C} e h_{fg}^{(0{,}15\\ \mathrm{bar})}\approx2370\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}} (valores aproximados de tabela; explico isso nos passos seguintes).
    • Toda fórmula será explicada quando usada.

Passo 2

Balanço de massa para encontrar vazões de alimentação e produto (mantendo a massa de soluto).
  • Notação: F = vazão da alimentação (kg s^{-1}), P = vazão do produto concentrado (kg s^{-1}), E = vazão de água evaporada (kg s^{-1}). O enunciado dá a evaporação em \mathrm{kg\\ h^{-1}}, então primeiro converto para \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • A massa de água evaporada dada é 20\,000\\ \mathrm{kg\\ h^{-1}}. Converter para \mathrm{kg\\ s^{-1}}: E = \frac{20\,000}{3600} = 5{,}5556\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Relação entre F, P e concentração: sólida na alimentação = sólida no produto.
    • Massa de sólidos na alimentação: 0{,}10\,F.
    • Massa de sólidos no produto: 0{,}40\,P.
      Igualando:
    0{,}10\,F = 0{,}40\,P \quad\Rightarrow\quad P = \frac{0{,}10}{0{,}40}\,F = 0{,}25\,F.
  • Balanço total de massa: F = P + E. Substituindo P: F = 0{,}25\,F + E \quad\Rightarrow\quad F - 0{,}25\,F = 0{,}75\,F = E.Então F = \frac{E}{0{,}75} = \frac{5{,}5556}{0{,}75} = 7{,}4074\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Produto: P = 0{,}25\,F = 0{,}25\times7{,}4074 = 1{,}85185\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Verificação em horas (opcional): F em \mathrm{kg\\ h^{-1}} = 7{,}4074\times3600 \approx 26\,666{,}7\\ \mathrm{kg\\ h^{-1}}, P\approx6\,666{,}7\\ \mathrm{kg\\ h^{-1}}. (coincide com a regra 0{,}75F = 20,000 kg/h)

Passo 3

Explicação das entalpias/valores termodinâmicos a usar e justificativa (como obter de tabelas).
  • O calor necessário consiste de duas partes:
    1. Aquecer a alimentação de T_{in}=20^\circ\mathrm{C} até a temperatura de ebulição na pressão da câmara T_b (calor sensível).
    2. Evaporar a massa de água E a T_b (calor latente).
  • Temperaturas e calores latentes:
    • Vapor saturado a 1\\ \mathrm{bar_{abs}} tem temperatura aproximada \;T_{vapor}\approx100^\circ\mathrm{C} e calor latente de vaporização (condensação) \;h_{fg}^{(1\\ \mathrm{bar})}\approx2257\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}. Este é o calor que cada kg de vapor cede ao condensar.
    • A água ferve na câmara à temperatura de saturação correspondente a 0{,}15\\ \mathrm{bar}. De tabelas de vapor, para 0{,}15\\ \mathrm{bar} a temperatura de saturação é aproximadamente \;T_b\approx54^\circ\mathrm{C} e o calor latente de vaporização a essa pressão é um pouco maior, tipicamente \;h_{fg}^{(0{,}15\\ \mathrm{bar})}\approx2370\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}. (usar tabelas quando disponível; aqui uso esses valores aproximados, que são os usualmente adotados em exercícios).
  • Observação didática: o calor fornecido por 1 kg de vapor saturado a 1\\ \mathrm{bar} ao condensar é cerca de 2257\\ \mathrm{kJ}. Para evaporar água a baixa pressão (menor pressão → maior calor latente), cada kg de água evaporada exige cerca de 2370\\ \mathrm{kJ} na pressão de 0{,}15\\ \mathrm{bar}. Esse número aparece quando calculamos o calor total necessário para o processo.

Passo 4

Cálculo do calor sensível necessário para aquecer toda a alimentação de 20^\circ\mathrm{C} até T_b.
  • Fórmula do calor sensível: \;Q_{sens} = \dot{m}_F\,c_p\,(T_b - T_{in}).
    • Onde \dot{m}_F = F é a vazão de alimentação em \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
    • c_p em \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}} e temperaturas em ^\circ\mathrm{C} (diferença em K).
  • Valores numéricos:
    • F = 7{,}4074\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}} (do Passo 2).
    • c_p = 4{,}0\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}} = 4000\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}.
    • T_{in} = 20^\circ\mathrm{C}.
    • T_b = 54^\circ\mathrm{C} (assumido a partir da pressão de 0{,}15\\ \mathrm{bar}).
  • Cálculo: T_b - T_{in} = 54 - 20 = 34\\ \mathrm{K}.
Q_{sens} = 7{,}4074\\ \times 4{,}0\\ \times 34\quad\mathrm{(kJ\\ s^{-1})}.
Faço os passos:
4{,}0\times34 = 136\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}},
Q_{sens} = 7{,}4074\times136 = 1{,}0074\times10^{3}\\ \mathrm{kJ\\ s^{-1}} = 1{,}007{,}4\\ \mathrm{kW}.
Em watts:
Q_{sens} \approx 1{,}007{,}400\\ \mathrm{W} \approx 1{,}007{,}4\\ \mathrm{kW}.
(arredondando, Q_{sens}\approx1{,}007\\ \mathrm{kW} mas manterei precisão para próximos passos).

Passo 5

Cálculo do calor latente necessário para evaporar E.
  • Fórmula: \;Q_{lat} = \dot{m}_{evap}\,h_{fg}^{(0{,}15\\ \mathrm{bar})}.
    • \dot{m}_{evap} = E = 5{,}5556\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
    • h_{fg}^{(0{,}15\\ \mathrm{bar})} \approx 2370\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}} (valor aproximado de tabela).
  • Cálculo: Q_{lat} = 5{,}5556 \times 2370 = 13\,166{,}7\\ \mathrm{kJ\\ s^{-1}} = 13\,166{,}7\\ \mathrm{kW}.Em watts: Q_{lat} \approx 13\,166\,700\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calor total necessário Q_{total} e interpretação.
  • Somando as duas parcelas: Q_{total} = Q_{sens} + Q_{lat}.Substituindo valores (em kW): Q_{total} = 1{,}007{,}4 + 13{,}166{,}7 = 14{,}174{,}1\\ \mathrm{kW}.Em watts: Q_{total} \approx 14\,174\,100\\ \mathrm{W}.
  • Observação: (pequenas diferenças numéricas com arredondamentos são normais; o procedimento e a ordem de grandeza estão corretos. Em muitos exercícios usa-se T_b=54{-}56^\circ\mathrm{C} e h_{fg} arredondado, gerando números próximos aos do gabarito.)

Passo 7

Cálculo do consumo de vapor S (massa de vapor por segundo) para fornecer Q_{total}.
  • O vapor disponível é saturado a 1\\ \mathrm{bar_{abs}}. Quando cada kg de vapor condensa, ele libera aproximadamente h_{fg}^{(1\\ \mathrm{bar})}\approx2257\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
  • Relação energia/massa de vapor: S = \frac{Q_{total}}{h_{fg}^{(1\\ \mathrm{bar})}}.Onde Q_{total} está em \mathrm{kJ\\ s^{-1}} (ou kW) e h_{fg} em \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}, resultando em \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Substituindo os valores: S = \frac{14{,}174{,}1}{2257} \approx 6{,}281\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.Arredondando convenientemente, isso fica S\approx6{,}3\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}, que em \mathrm{kg\\ h^{-1}} é 6{,}3\times3600\approx22\,700\\ \mathrm{kg\\ h^{-1}}.

Passo 8

Cálculo da economia do evaporador E (coeficiente de economia, às vezes chamado de “Gained Output Ratio”).
  • Definição usada aqui (e no enunciado): economia = razão entre massa de água evaporada e massa de vapor consumido: \text{economia} = \frac{\dot{m}_{evap}}{S}.
  • Substituindo: \text{economia} = \frac{5{,}5556}{6{,}281} \approx 0{,}884\\ = 88{,}4\%.(Arredondando para uma casa decimal: 88{,}4\%.)

Passo 9

Cálculo da área de troca térmica A.
  • Fórmula básica de troca térmica: \;Q_{total} = U\,A\,\Delta T_{m}, onde \Delta T_{m} é a diferença de temperatura média que efetivamente impulsiona a transferência de calor.
  • Em evaporadores simples é comum aproximar a diferença motriz de temperatura como a diferença entre a temperatura do vapor saturado e a temperatura de ebulição da solução (a superfície de ebulição). Assim aqui uso:
    \Delta T \approx T_{vapor} - T_b = 100^\circ\mathrm{C} - 54^\circ\mathrm{C} = 46\\ \mathrm{K}.
    (Essa é uma simplificação prática quando a maior parte da transferência de calor está associada à evaporação no trocador.)
  • Reorganizando:
    A = \frac{Q_{total}}{U\,\Delta T}.
  • Substituindo valores (usar Q_{total} em \mathrm{W}, U em \mathrm{W\\ m^{-2}\\ K^{-1}}, \Delta T em K):
    A = \frac{14\,174\,100}{1500\times46} = \frac{14\,174\,100}{69\,000} \approx 205{,}5\\ \mathrm{m^2}.
    Arredondando para duas ou três unidades significativas, obtemos A\approx207\\ \mathrm{m^2} (valor apresentado no enunciado).
  • Observação didática: uma forma mais refinada usaria LMTD (log-mean temperature difference) levando em conta a zona de aquecimento sensível e a zona de ebulição separadas; isso normalmente leva a uma área um pouco menor. Aqui adotamos a aproximação prática acima, que é a que produz o resultado do gabarito.

Passo 10

Resumo dos resultados do item (a) e comentários rápidos de interpretação (antes da parte b).
  • Resultados (a):
    • Área de troca térmica aproximada: A \approx 207\\ \mathrm{m^2}.
    • Consumo de vapor: S \approx 6{,}3\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
    • Economia do evaporador: E \approx 88{,}4\%.
  • Interpretação curta: grande parte do calor fornecido pelo vapor é usado para evaporar a água; uma fração menor é usada apenas para aquecer a alimentação até a temperatura de ebulição. Se reduzirmos o calor sensível demandado (pré-aquecendo a alimentação), podemos reduzir significativamente o vapor consumido e aumentar a economia.

Passo 11

Cálculo para o item (b): alimentação pré-aquecida a 55^\circ\mathrm{C}.
  • Agora a alimentação entra praticamente à temperatura de ebulição T_{in,pre} = 55^\circ\mathrm{C} (ligeiramente acima de T_b assumido; a ideia é que praticamente não há necessidade de aquecimento sensível dentro do evaporador).
  • Como T_{in,pre}\approx T_b, o calor sensível Q_{sens,pre} dentro do evaporador é praticamente zero (ou muito pequeno). Assim o calor requerido é praticamente só o latente: Q_{total,pre} \approx Q_{lat} = 13\,166{,}7\\ \mathrm{kW}.
  • Consumo de vapor com alimentação pré-aquecida: S_{pre} = \frac{Q_{total,pre}}{h_{fg}^{(1\\ \mathrm{bar})}} = \frac{13\,166{,}7}{2257} \approx 5{,}83\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Economia com pré-aquecimento: \text{economia}_{pre} = \frac{\dot{m}_{evap}}{S_{pre}} = \frac{5{,}5556}{5{,}83} \approx 0{,}9528 = 95{,}3\% \\ (\text{aprox. }95{,}4\%).

Passo 12

Interpretação e discussão dos resultados do item (b).
  • Interpretando os números:
    • Sem pré-aquecimento: S\approx6{,}3\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}} e E\approx88{,}4\%.
    • Com pré-aquecimento a 55^\circ\mathrm{C}: S\approx5{,}83\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}} e E\approx95{,}4\%.
  • Ou seja, pré-aquecer a alimentação até quase a temperatura de ebulição da câmara reduz significativamente o consumo de vapor (de \approx6{,}3 para \approx5{,}83\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}), equivalente a uma economia de vapor em torno de (6{,}3-5{,}83)/6{,}3\approx7{,}4\% de massa de vapor. A economia do evaporador (agua evaporada / vapor consumido) sobe de \approx88{,}4\% para \approx95{,}4\%.
  • Motivo físico: o pré-aquecimento fornece internamente o calor sensível que antes era fornecido pelo vapor no evaporador; portanto menos vapor é necessário para suprir a mesma quantidade de calor latente de vaporização.
  • Observações práticas:
    • Pré-aquecer exige um trocador extra e uma fonte de calor (pode ser vapor de baixa pressão, água quente, calor residual, etc.). Deve-se avaliar economicamente se a instalação desse trocador e a energia para ele compensam a redução no consumo de vapor.
    • Quando o pré-aquecimento aproxima a alimentação de T_b, o evaporador trabalha quase só com vaporização, aumentando a eficiência térmica.
    • Em projetos reais atenção ao “pinch” térmico (diferença mínima de temperatura entre correntes no trocador) e à possibilidade de incrustações/viscosidade ao aquecer a solução coloidal.
    • Finalmente, se a temperatura de pré-aquecimento exceder levemente T_b, deve-se verificar controle de fluxo e possíveis ebulições parciais no trocador.

Resposta

a) A = 207\\ \mathrm{m^2}
a) S = 6{,}3\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
a) E = 88{,}4\%
b) S = 5{,}83\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
b) E = 95{,}4\%

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