Na reação de oxidação do manganês com oxigênio no tratamento de água para consumo humano:
2 \mathrm{Mn}^{2+}+\mathrm{O}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightarrow 2 \mathrm{MnO}_{2}+4 \mathrm{H}^{+}
O modelo cinético da oxidação do manganês é representado pela seguinte equação:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-k\left[\mathrm{O}_{2}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]^{-}\left[\mathrm{Mn}^{2+}\right] \operatorname{com} k=4 \times 10^{12} \mathrm{~L}^{3} / \mathrm{d} . \mathrm{mol}^{3}
Se as concentrações de oxigênio dissolvido e \mathrm{Mn}^{2+} forem de 0,268 \mathrm{mmol} / \mathrm{L} e 5,5 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e o pH da água for mantido em 6,0 : a) Determine a taxa de consumo de \mathrm{Mn}^{2+}. b) Determine a concentração e as taxas de produção/consumo de oxigênio dissolvido, óxido de manganês e de ácido ( \mathrm{H}^{+}) quando a concentração de \mathrm{Mn}^{2+} for igual a 0,3 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Massas atômicas dos elementos: O: 15 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; H: 1 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; Mn: 54,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado dá a reação e a lei cinética e pede duas coisas:
  • Reação estequiométrica:
2\mathrm{Mn}^{2+}+\mathrm{O}_{2}+2\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\rightarrow 2\mathrm{MnO}_{2}+4\mathrm{H}^{+}
  • Lei cinética informada (forma escrita no enunciado, que vamos interpretar):
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-k\left[\mathrm{O}_{2}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]^{?}\left[\mathrm{Mn}^{2+}\right],\quad k=4\times10^{12}\\ \mathrm{L}^{3}\mathrm{d}^{-1}\mathrm{mol}^{-3}.
Dados numéricos fornecidos:
  • Concentração de oxigênio dissolvido: \,0{,}268\\ \mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Concentração de \mathrm{Mn}^{2+} (parte a): \,5{,}5\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • pH da água: \,6{,}0.
  • Para a parte (b): \mathrm{Mn}^{2+}=0{,}3\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Massas atômicas (fornecidas): \,O=15\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1},\;H=1\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1},\;Mn=54{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
O que é pedido:
(a) Determinar a taxa de consumo de \mathrm{Mn}^{2+} para as concentrações dadas (O2 = 0,268 mmol/L; Mn2+ = 5,5 mg/L; pH = 6,0).
(b) Quando \mathrm{Mn}^{2+}=0{,}3\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}, determinar a concentração (das espécies disponíveis) e as taxas de produção/consumo de \mathrm{O}_{2}, \mathrm{MnO}_{2} e \mathrm{H}^{+}.
Observação importante (não resolutiva): a forma do termo em [\mathrm{OH}^{-}] não está clara no enunciado escrito (apareceu como [\mathrm{OH}^{-}]^{-}). No Passo 2 eu esclareço essa ambiguidade e justifico a forma que vou usar para calcular as taxas.

Passo 2

Interpretação correta do termo em [\mathrm{OH}^{-}] (determinando o expoente): vamos usar análise dimensional/unidades para inferir o expoente de [\mathrm{OH}^{-}].
  • Queremos que a taxa r_{\mathrm{Mn}^{2+}} tenha unidade de concentração por tempo: \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
  • k tem unidade dada: \mathrm{L}^{3}\,\mathrm{d}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-3}.
  • Se chamarmos o expoente de [\mathrm{OH}^{-}] de a, a unidade do lado direito será:
\mathrm{L}^{3}\,\mathrm{d}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-3}\times(\mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1})^{1+a+1}=\mathrm{L}^{3-(1+a+1)}\,\mathrm{mol}^{-3+(1+a+1)}\,\mathrm{d}^{-1}=\mathrm{L}^{1-a}\,\mathrm{mol}^{a-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
  • Igualando com \mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{mol}^{1}\,\mathrm{d}^{-1} obtém-se 1-a=-1\Rightarrow a=2 e a-1=1\Rightarrow a=2. Portanto o expoente é 2.
Conclusão: a lei cinética correta (para usar) é
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-k\,[\mathrm{O}_{2}]\,[\mathrm{OH}^{-}]^{2}\,[\mathrm{Mn}^{2+}].
Comentário leve: resumindo, a incógnita ambígua era só a notação; pela consistência dimensional o termo é [\mathrm{OH}^{-}]^{2}. Vamos em frente com essa forma.

Passo 3

Conversões e cálculos preparatórios (colocar tudo em \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}).
  1. Converter [\mathrm{O}_{2}]:
0{,}268\\ \mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}=0{,}268\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}=2{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  1. Converter [\mathrm{Mn}^{2+}] para a parte (a) ( 5{,}5\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}):
5{,}5\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}=0{,}0055\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.
[\mathrm{Mn}^{2+}] = \frac{0{,}0055\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}}{54{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}}=1{,}0018\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  1. Para pH =6{,}0:
[\mathrm{H}^{+}]=10^{-6}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Usando K_{\mathrm{w}}=10^{-14}\\ \mathrm{mol}^{2}\mathrm{L}^{-2} (condição padrão a 25°C),
[\mathrm{OH}^{-}]=\frac{K_{\mathrm{w}}}{[\mathrm{H}^{+}]}=\frac{10^{-14}}{10^{-6}}=10^{-8}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  1. Para a parte (b): converter [\mathrm{Mn}^{2+}]=0{,}3\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}:
0{,}3\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}=0{,}0003\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1},
[\mathrm{Mn}^{2+}]_{b}=\frac{0{,}0003}{54{,}9}=5{,}4646\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Observação: as massas molares usadas abaixo para conversões a mg/L usam as massas atômicas fornecidas:
M_{\mathrm{O}_{2}}=2\times15=30\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1},\quad M_{\mathrm{MnO}_{2}}=54{,}9+2\times15=84{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 4

Cálculo da taxa de consumo de \mathrm{Mn}^{2+} — parte (a).
Usando a lei cinética:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-k\,[\mathrm{O}_{2}]\,[\mathrm{OH}^{-}]^{2}\,[\mathrm{Mn}^{2+}].
Substituindo os números (todos em \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1} e k em \mathrm{L}^{3}\mathrm{d}^{-1}\mathrm{mol}^{-3}):
k=4\times10^{12}, \quad [\mathrm{O}_{2}]=2{,}68\times10^{-4}, \quad [\mathrm{OH}^{-}]=1\times10^{-8}, \quad [\mathrm{Mn}^{2+}]=1{,}0018\times10^{-4}.
Cálculo:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-4\times10^{12}\times(2{,}68\times10^{-4})\times(1\times10^{-8})^{2}\times(1{,}0018\times10^{-4}).
Fazendo as potências de 10 e multiplicações:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-1{,}07395\times10^{-11}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Converter para \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1} (usar M_{Mn}=54{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}):
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-1{,}07395\times10^{-11}\times54{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=-5{,}898\times10^{-10}\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
\Rightarrow r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-5{,}90\times10^{-7}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Interpretação rápida e motivadora: a taxa é extremamente pequena nas condições dadas (pH ácido relativo, [\mathrm{OH}^{-}] muito baixo), por isso a oxidação é muito lenta.

Passo 5

Relação estequiométrica entre taxas (útil para parte b).
Da reação:
2\mathrm{Mn}^{2+}+\mathrm{O}_{2}+\dots\rightarrow 2\mathrm{MnO}_{2}+4\mathrm{H}^{+},
se definirmos R como a velocidade da reação (em mol L^{-1} d^{-1} por “uma vez” da equação), então:
\frac{d[\mathrm{Mn}^{2+}]}{dt}=-2R,\quad \frac{d[\mathrm{O}_{2}]}{dt}=-1R,\quad \frac{d[\mathrm{MnO}_{2}]}{dt}=+2R,\quad \frac{d[\mathrm{H}^{+}]}{dt}=+4R.
Isolando R em função de r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=\dfrac{d[\mathrm{Mn}^{2+}]}{dt}:
R=-\dfrac{1}{2}r_{\mathrm{Mn}^{2+}}.
Então podemos escrever as taxas diretamente em função de r_{\mathrm{Mn}^{2+}}:
r_{\mathrm{O}_{2}}=\dfrac{1}{2}\,r_{\mathrm{Mn}^{2+}},\quad r_{\mathrm{MnO}_{2}}=-r_{\mathrm{Mn}^{2+}},\quad r_{\mathrm{H}^{+}}=-2\,r_{\mathrm{Mn}^{2+}}.
Observação: os r aqui são d[\cdot]/dt. Como r_{\mathrm{Mn}^{2+}} é negativo (consumo), os sinais nas relações dão forma correta (consumo de O2, produção de MnO2 e H+).

Passo 6

Calcular r_{\mathrm{Mn}^{2+}} quando [\mathrm{Mn}^{2+}]=0{,}3\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1} (parte b) — usar os valores de [\mathrm{O}_{2}] e [\mathrm{OH}^{-}] já usados.
Já temos:
[\mathrm{Mn}^{2+}]_{b}=5{,}4646\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Aplicando a lei:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-4\times10^{12}\times(2{,}68\times10^{-4})\times(1\times10^{-8})^{2}\times(5{,}4646\times10^{-6}).
Cálculo:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-5{,}856\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Converter para \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}:
r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-5{,}856\times10^{-13}\times54{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=-3{,}214\times10^{-11}\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1},
\Rightarrow r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-3{,}21\times10^{-8}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.

Passo 7

Calcular as taxas de consumo/produção de \mathrm{O}_{2}, \mathrm{MnO}_{2} e \mathrm{H}^{+} (parte b), usando as relações estequiométricas do Passo 5.
Usando r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-5{,}856\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}:
  1. Oxigênio dissolvido:
r_{\mathrm{O}_{2}}=\tfrac{1}{2}\,r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=\tfrac{1}{2}\times(-5{,}856\times10^{-13})=-2{,}928\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Converter para \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1} usando M_{\mathrm{O}_{2}}=30\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}:
r_{\mathrm{O}_{2}}=-2{,}928\times10^{-13}\times30\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=-8{,}784\times10^{-12}\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1},
\Rightarrow r_{\mathrm{O}_{2}}=-8{,}78\times10^{-9}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
  1. Óxido de manganês ( \mathrm{MnO}_{2}):
r_{\mathrm{MnO}_{2}}=-r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=+5{,}856\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Converter para \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1} usando M_{\mathrm{MnO}_{2}}=84{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}:
r_{\mathrm{MnO}_{2}}=5{,}856\times10^{-13}\times84{,}9\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=4{,}973\times10^{-11}\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1},
\Rightarrow r_{\mathrm{MnO}_{2}}=4{,}97\times10^{-8}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
  1. Íon hidrogênio ( \mathrm{H}^{+}):
r_{\mathrm{H}^{+}}=-2\,r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-2\times(-5{,}856\times10^{-13})=1{,}1712\times10^{-12}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Converter para \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1} (usar M_{H}=1\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}):
r_{\mathrm{H}^{+}}=1{,}1712\times10^{-12}\times1\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=1{,}1712\times10^{-12}\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1},
\Rightarrow r_{\mathrm{H}^{+}}=1{,}17\times10^{-9}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.

Passo 8

Concentrações relevantes para a parte (b) (o enunciado pede “determine a concentração e as taxas…”):
  • [\mathrm{O}_{2}] foi fornecida e permanece:
[\mathrm{O}_{2}]=2{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}=0{,}268\\ \mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}=8{,}04\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\quad(\text{usando }M_{O_{2}}=30\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}).
  • [\mathrm{MnO}_{2}] e [\mathrm{H}^{+}] em valor absoluto NO instante não podem ser determinados apenas a partir dos dados fornecidos, porque precisa-se do valor inicial (concentração pré-existente) de \mathrm{MnO}_{2} e de \mathrm{H}^{+} para dar um valor absoluto. Porém, podemos fornecer as taxas instantâneas de produção/consumo, que já calculamos no Passo 7.
Resumo rápido e animador: as taxas calculadas na parte (b) são todas muito baixas (razão novamente: pH 6 implica [\mathrm{OH}^{-}] muito baixo e, pelo termo [\mathrm{OH}^{-}]^{2}, a velocidade é fortemente reduzida).

Resposta

(a) \;r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-1{,}07395\times10^{-11}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=-5{,}90\times10^{-7}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
(b) [\mathrm{O}_{2}]=2{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}=0{,}268\\ \mathrm{mmol}\,\mathrm{L}^{-1}=8{,}04\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}.
\
\;r_{\mathrm{Mn}^{2+}}=-5{,}856\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=-3{,}21\times10^{-8}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
\
\;r_{\mathrm{O}_{2}}=-2{,}928\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=-8{,}78\times10^{-9}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
\
\;r_{\mathrm{MnO}_{2}}=+5{,}856\times10^{-13}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=+4{,}97\times10^{-8}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
\
\;r_{\mathrm{H}^{+}}=+1{,}1712\times10^{-12}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}=+1{,}17\times10^{-9}\\ \mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{d}^{-1}.
Observação final curta: os valores absolutos de [\mathrm{MnO}_{2}] e [\mathrm{H}^{+}] no instante pedido não foram fornecidos no enunciado; por isso apresentei as taxas instantâneas de produção/consumo (essas sim determinadas pela cinética e estequiometria).

Exercícios relacionados