Uma solução é descrita como básica. O que significa essa afirmativa?

Passo 1

Você perguntou: “Uma solução é descrita como básica. O que significa essa afirmativa?”\n
Informações claras do enunciado: você quer o significado da expressão “solução básica”. Não há outros dados numéricos ou figura. A resposta deve explicar, passo a passo, o conceito e como construir/identificar uma solução básica.

Passo 2

Montando o cenário mais simples onde esse termo aparece (sem assumir que você já sabe): considere um sistema linear com mais incógnitas do que equações. Escrevemos isso como
A x = b,
onde A é uma matriz de dimensão m\times n com m \le n, x é o vetor de incógnitas em \mathbb{R}^n e b é o vetor de termos independentes em \mathbb{R}^m.\n
A ideia básica que vamos usar é que, quando temos menos equações que incógnitas, normalmente há “graus de liberdade”: muitas soluções possíveis. Uma “solução básica” é uma maneira padrão de escolher uma solução única associada a um conjunto de colunas de A. Nos próximos passos eu ensino como isso funciona de forma prática.

Passo 3

Definição construtiva (a versão que você usa na prova): escolha um subconjunto de índices B\subset\{1,\dots,n\} com exatamente m índices tais que as colunas de A correspondentes a B sejam linearmente independentes. Chamamos essa submatriz de A_B m\times m e invertível). Então definimos:
  • as variáveis cujos índices estão em B como variáveis básicas x_B,
  • as variáveis com índices no complemento N=\{1,\dots,n\}\setminus B como variáveis não‑básicas x_N.\n
    A solução básica associada a B é obtida impondo x_N = 0 e resolvendo
A_B x_B = b.
Como A_B é invertível, isso dá um único vetor x_B = A_B^{-1}b. Juntando x_B com x_N=0 obtemos a solução x\in\mathbb{R}^n. Essa é a “solução básica” correspondente à escolha de B.

Passo 4

Vou ilustrar com um exemplo numérico simples, passo a passo, para você ver como aplicar isso numa prova.\n
Considere m=2, n=4,
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escolha uma base B=\{1,2\} (as colunas 1 e 2). Então
A_B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Impondo x_3=x_4=0 e resolvendo A_B x_B=b temos
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}
logo x_1=3, x_2=1. A solução básica é
x=(x_1,x_2,x_3,x_4) = (3,1,0,0).\n
Agora escolha outra base, por exemplo B'=\{1,3\}. As colunas 1 e 3 são
A_{B'}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Impondo x_2=x_4=0 e resolvendo A_{B'}(x_1,x_3)^\top=b:
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Da segunda equação -1\cdot x_3=1 então x_3=-1. Da primeira x_1+2x_3=3 então x_1+2(-1)=3 e x_1=5. A solução básica aqui é
x=(5,0,-1,0).
Repare que nada impede um componente básico ser negativo; se você estiver no contexto de programação linear com restrição x\ge0 isso importa (vou explicar já já).]

Passo 5

Termos importantes e variações que costuma cair em prova:\n
  • Solução básica (SB): ela vem de escolher uma base B com m colunas independentes e definir x_N=0, resolver A_B x_B=b.\n
  • Solução básica factível (ou básica viável): é uma SB que também satisfaz x\ge0 (todas as componentes do vetor solução são maiores ou iguais a zero). Em problemas de programação linear com restrição x\ge0, as SB factíveis correspondem aos pontos candidatos à solução ótima.\n
  • Degenerescência: se numa SB factível algum componente de x_B é exatamente zero, dizemos que a solução é degenerada. Isso cria situações especiais no método simplex (trocas de base que não aumentam imediatamente o valor objetivo), então é algo a observar.

Passo 6

Intuição geométrica (ajuda muito na prova): no caso das restrições
\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x = b,\; x\ge0\},
o conjunto factível é um politopo convexa (um poliedro). Cada solução básica factível corresponde a um vértice (extremo) desse politopo. Então você pode pensar: “escolhi m colunas independentes = escolhi m paredes que se cruzam num vértice; as outras variáveis ficam zero”. Isso ajuda a justificar porque o método simplex procura entre soluções básicas factíveis.

Passo 7

Por que isso é útil na prática/exame? Porque:
  • Para listar candidatos à solução em um problema com restrições, você só precisa examinar bases possíveis (há um número finito, apesar de grande).\n
  • Para aplicar o método simplex você sempre trabalha com soluções básicas e troca colunas da base para melhorar a solução.\n
  • Em álgebra linear, a ideia de escolher colunas independentes e escrever a solução em termos delas é equivalente a trabalhar com uma base do espaço coluna de A.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (passo a passo prático):
  1. Verifique dimensões: A é m\times n com m\le n.\n
  2. Escolha m colunas que parecem independentes (colunas canônicas ou que formam matriz triangular facilitam contas).\n
  3. Coloque as demais variáveis em zero.\n
  4. Resolva o sistema A_B x_B=b (é um sistema m\times m). Faça as contas na mão: eliminação de Gauss para m pequeno é rápido.\n
  5. Verifique se a solução obtida satisfaz eventuais restrições adicionais (por exemplo x\ge0).\n
    Se cair uma pergunta pedindo “dê uma solução básica”, siga esses passos e escreva qual base usou.

Resposta

Uma solução é chamada de básica quando ela é obtida escolhendo‑se um conjunto B de m colunas linearmente independentes da matriz A e impondo que as demais variáveis sejam zero, isto é, definindo x_N=0 e resolvendo A_B x_B=b para obter x. Se além disso x\ge0, dizemos que é uma solução básica factível.

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