Uma solução é descrita como básica. O que significa essa afirmativa?
Passo 1
Você perguntou: “Uma solução é descrita como básica. O que significa essa afirmativa?”\n
Informações claras do enunciado: você quer o significado da expressão “solução básica”. Não há outros dados numéricos ou figura. A resposta deve explicar, passo a passo, o conceito e como construir/identificar uma solução básica.
Informações claras do enunciado: você quer o significado da expressão “solução básica”. Não há outros dados numéricos ou figura. A resposta deve explicar, passo a passo, o conceito e como construir/identificar uma solução básica.
Passo 2
Montando o cenário mais simples onde esse termo aparece (sem assumir que você já sabe): considere um sistema linear com mais incógnitas do que equações. Escrevemos isso como
onde
é uma matriz de dimensão
com
,
é o vetor de incógnitas em
e
é o vetor de termos independentes em
.\n
A ideia básica que vamos usar é que, quando temos menos equações que incógnitas, normalmente há “graus de liberdade”: muitas soluções possíveis. Uma “solução básica” é uma maneira padrão de escolher uma solução única associada a um conjunto de colunas de . Nos próximos passos eu ensino como isso funciona de forma prática.
A ideia básica que vamos usar é que, quando temos menos equações que incógnitas, normalmente há “graus de liberdade”: muitas soluções possíveis. Uma “solução básica” é uma maneira padrão de escolher uma solução única associada a um conjunto de colunas de
Passo 3
Definição construtiva (a versão que você usa na prova): escolha um subconjunto de índices
com exatamente
índices tais que as colunas de
correspondentes a
sejam linearmente independentes. Chamamos essa submatriz de
(é
e invertível). Então definimos:
- as variáveis cujos índices estão em
como variáveis básicas , - as variáveis com índices no complemento
como variáveis não‑básicas .\n
A solução básica associada aé obtida impondo e resolvendo
Como
é invertível, isso dá um único vetor
. Juntando
com
obtemos a solução
. Essa é a “solução básica” correspondente à escolha de
.
Passo 4
Vou ilustrar com um exemplo numérico simples, passo a passo, para você ver como aplicar isso numa prova.\n
Considere ,
,
Considere
Escolha uma base
(as colunas 1 e 2). Então
Impondo
e resolvendo
temos
logo
,
. A solução básica é
Agora escolha outra base, por exemplo
. As colunas 1 e 3 são
Impondo
e resolvendo
:
Da segunda equação
então
. Da primeira
então
e
. A solução básica aqui é
Repare que nada impede um componente básico ser negativo; se você estiver no contexto de programação linear com restrição
isso importa (vou explicar já já).]
Passo 5
Termos importantes e variações que costuma cair em prova:\n
- Solução básica (SB): ela vem de escolher uma base
com colunas independentes e definir , resolver .\n - Solução básica factível (ou básica viável): é uma SB que também satisfaz
(todas as componentes do vetor solução são maiores ou iguais a zero). Em problemas de programação linear com restrição , as SB factíveis correspondem aos pontos candidatos à solução ótima.\n - Degenerescência: se numa SB factível algum componente de
é exatamente zero, dizemos que a solução é degenerada. Isso cria situações especiais no método simplex (trocas de base que não aumentam imediatamente o valor objetivo), então é algo a observar.
Passo 6
Intuição geométrica (ajuda muito na prova): no caso das restrições
o conjunto factível é um politopo convexa (um poliedro). Cada solução básica factível corresponde a um vértice (extremo) desse politopo. Então você pode pensar: “escolhi
colunas independentes = escolhi
paredes que se cruzam num vértice; as outras variáveis ficam zero”. Isso ajuda a justificar porque o método simplex procura entre soluções básicas factíveis.
Passo 7
Por que isso é útil na prática/exame? Porque:
- Para listar candidatos à solução em um problema com restrições, você só precisa examinar bases possíveis (há um número finito, apesar de grande).\n
- Para aplicar o método simplex você sempre trabalha com soluções básicas e troca colunas da base para melhorar a solução.\n
- Em álgebra linear, a ideia de escolher colunas independentes e escrever a solução em termos delas é equivalente a trabalhar com uma base do espaço coluna de
.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (passo a passo prático):
- Verifique dimensões:
é com .\n - Escolha
colunas que parecem independentes (colunas canônicas ou que formam matriz triangular facilitam contas).\n - Coloque as demais variáveis em zero.\n
- Resolva o sistema
(é um sistema ). Faça as contas na mão: eliminação de Gauss para pequeno é rápido.\n - Verifique se a solução obtida satisfaz eventuais restrições adicionais (por exemplo
).\n
Se cair uma pergunta pedindo “dê uma solução básica”, siga esses passos e escreva qual base usou.
Resposta
Uma solução é chamada de básica quando ela é obtida escolhendo‑se um conjunto
de
colunas linearmente independentes da matriz
e impondo que as demais variáveis sejam zero, isto é, definindo
e resolvendo
para obter
. Se além disso
, dizemos que é uma solução básica factível.