Uma solução diluída deve ser concentrada de 10 até 50 \% em sólidos em um evaporador de simples efeito. O vapor utilizado no aquecimento está disponível a uma pressão manométrica de 1,03 \mathrm{~atm} a 120,5^{\circ} \mathrm{C}(\lambda s=2200 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}). Uma pressão absoluta de 102 mmHg é mantida na região de vapor da solução, o que corresponde a uma temperatura de ebulição de 51,7^{\circ} \mathrm{C}. ( \lambda=2380 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} ). O fluxo de alimentação da solução é 24950 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O coeficiente global de transferência de calor pode ser considerado de 2800 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{20} \mathrm{C}\right). A elevação ebulioscópica e o calor de diluição da solução podem ser considerados insignificantes. Calcule o consumo de vapor, a economia, e a superfície de transferência requerida a temperatura da alimentação para:
21,1^{\circ} \mathrm{C}. O calor de vaporização da solução na alimentação é 3,770 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas: o consumo de vapor (kg/h), a economia (kg de agua evaporada por kg de vapor) e a superfície de troca térmica requerida (m²) para um evaporador de efeito simples. As informações relevantes dadas são:
  • Fluxo de alimentação F = 24950\\ \mathrm{kg/h}.
  • Fração mássica de sólidos na alimentação x_F = 10\%.
  • Fração mássica de sólidos no produto concentrado x_P = 50\%.
  • Temperatura da alimentação T_{f} = 21{,}1^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão na zona de vapor da solução correspondente a temperatura de ebulição T_b = 51{,}7^\circ\mathrm{C} (esta informação veio do enunciado).
  • Calor latente da vaporização da solução à temperatura de ebulição \lambda_{\text{sol}} = 2380\\ \mathrm{kJ/kg} (dado).
  • Vapor de aquecimento disponível: temperatura de condensação T_s = 120{,}5^\circ\mathrm{C} e calor latente \lambda_s = 2200\\ \mathrm{kJ/kg} (dado).
  • Coeficiente global de transferência de calor U = 2800\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)}.
  • Calor específico da solução (usado para aquecer a alimentação) c_p = 3{,}770\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} (dado no enunciado como “calor de vaporização da solução na alimentação”, aqui interpretado como calor específico da solução).
  • Despreza-se elevação ebulioscópica e calor de diluição.
Portanto o problema consiste em: 1) fazer balanço de massa para obter a massa evaporada V; 2) fazer balanço de energia para obter a potência térmica necessária Q; 3) dividir essa potência pelo calor fornecido por kg de vapor para obter o consumo de vapor m_s; 4) calcular a economia G=V/m_s; 5) obter a área A usando Q = U A \Delta T, onde \Delta T é a diferença entre T_s e T_b.

Passo 2

Balanço de massa (passo a passo, bem mastigado): a quantidade de sólidos é conservada.
Calcule a massa de sólidos na alimentação:
\text{Sólidos} = F \cdot x_F = 24950 \cdot 0{,}10 = 2495\\ \mathrm{kg/h}.ó
A massa do produto concentrado P é a massa de sólidos dividida pela fração de sólidos do produto:
P = \frac{\text{Sólidos}}{x_P} = \frac{2495}{0{,}50} = 4990\\ \mathrm{kg/h}.ó
A massa de vapor (água) removida V é a diferença entre alimentação e produto:
V = F - P = 24950 - 4990 = 19960\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 3

Energia necessária: componente sensível (aquecer a alimentação de T_f até T_b) e componente latente (vaporização da massa V). Primeiro a energia sensível por hora:
a energia sensível por kg é c_p (T_b - T_f). Então
\Delta T = T_b - T_f = 51{,}7 - 21{,}1 = 30{,}6^\circ\mathrm{C}.
Energia sensível por kg:
q_{\text{sens,kg}} = c_p \Delta T = 3{,}770 \cdot 30{,}6 = 115{,}362\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia sensível total por hora (aquecimento da alimentação inteira):
Q_{\text{sens}} = F \cdot q_{\text{sens,kg}} = 24950 \cdot 115{,}362 = 2\,878\,281{,}9\\ \mathrm{kJ/h}.
Expliquei: multiplicamos o calor necessário por kg pela quantidade de kg/h da alimentação para obter kJ/h.

Passo 4

Energia de vaporização (latente): cada kg de água evaporada requer \lambda_{\text{sol}}. Então
Q_{\text{vap}} = V \cdot \lambda_{\text{sol}} = 19960 \cdot 2380 = 47\,504\,800\\ \mathrm{kJ/h}.
Expliquei: isto é a energia necessária apenas para transformar V kg/h de líquido em vapor, à temperatura de ebulição da solução.

Passo 5

Energia total requerida por hora:
Q = Q_{\text{sens}} + Q_{\text{vap}} = 2\,878\,281{,}9 + 47\,504\,800 = 50\,383\,081{,}9\\ \mathrm{kJ/h}.
Verificação de ordem de grandeza: a maior parcela vem da vaporização (como esperado).

Passo 6

Consumo de vapor: cada kg de vapor condensado libera \lambda_s = 2200\\ \mathrm{kJ/kg}. Então a massa de vapor necessária por hora é
m_s = \frac{Q}{\lambda_s} = \frac{50\,383\,081{,}9}{2200} = 22\,901{,}4\\ \mathrm{kg/h}.
Expliquei: dividimos a potência térmica necessária pelo conteúdo energético por kg de vapor disponível para transferência.

Passo 7

Economia do evaporador (definição usada aqui): massa de água evaporada por kg de vapor fornecido,
G = \frac{V}{m_s} = \frac{19960}{22\,901{,}4} = 0{,}872\\ \mathrm{kg\;evaporado/kg\;vapor}.
Interpretação: em efeito simples com alimentação fria, a economia fica menor que 1 porque parte da energia do vapor é gasta aquecendo a alimentação (calor sensível).

Passo 8

Cálculo da superfície de troca térmica requerida A.
Primeiro convertemos Q de \mathrm{kJ/h} para \mathrm{W} (joule por segundo): 1\\ \mathrm{kJ/h} = \tfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{W} = 0{,}277\overline{7}\\ \mathrm{W}. Assim
Q_{\text{W}} = \frac{50\,383\,081{,}9\\ \mathrm{kJ/h}\cdot 1000}{3600} = 13\,995\,300\\ \mathrm{W}.
A diferença de temperatura útil entre o vapor e a solução em ebulição é constante (vapor condensa a T_s e a solução ferve a T_b), então a diferença é
\Delta T = T_s - T_b = 120{,}5 - 51{,}7 = 68{,}8^\circ\mathrm{C}.
Como a temperatura de vapor é praticamente constante durante a condensação e a solução ferve a temperatura constante, o LMTD = \Delta T (não há variação de temperatura significativa nos dois lados).
A área requerida é dada por
A = \frac{Q_{\text{W}}}{U \, \Delta T} = \frac{13\,995\,300}{2800 \cdot 68{,}8}.
Calcule o denominador:
U \Delta T = 2800 \cdot 68{,}8 = 192\,640\\ \mathrm{W/m^2}.
Logo
A = \frac{13\,995\,300}{192\,640} \approx 72{,}7\\ \mathrm{m^2}.
Expliquei: converti Q para W porque U está em W/(m²·°C), usei \Delta T constante e dividi para obter a área.

Passo 9

Resumo rápido de verificação de unidades e lógica (para você ficar confiante):
  • Todas as energias foram computadas em kJ/h e depois convertidas para W quando necessário para a área.
  • Dividimos a energia total por \lambda_s (kJ/kg) para obter kg/h de vapor — unidades consistentes.
  • Lembre-se: desprezamos perdas e calor de diluição conforme o enunciado, por isso os resultados são para o caso ideal pedido.

Resposta

Consumo de vapor: 22901{,}4\\ \mathrm{kg/h}
Economia: 0{,}872\\ \mathrm{kg\;evaporado/kg\;vapor}
Superfície requerida: 72{,}7\\ \mathrm{m^2}

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