Uma solução diluída deve ser concentrada de 10 até 50 \% em sólidos em um evaporador de simples efeito. O vapor utilizado no aquecimento está disponível a uma pressão manométrica de 1,03 \mathrm{~atm} a 120,5^{\circ} \mathrm{C}(\lambda s=2200 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}). Uma pressão absoluta de 102 mmHg é mantida na região de vapor da solução, o que corresponde a uma temperatura de ebulição de 51,7^{\circ} \mathrm{C}. ( \lambda=2380 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} ). O fluxo de alimentação da solução é 24950 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O coeficiente global de transferência de calor pode ser considerado de 2800 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{20} \mathrm{C}\right). A elevação ebulioscópica e o calor de diluição da solução podem ser considerados insignificantes. Calcule o consumo de vapor, a economia, e a superfície de transferência requerida a temperatura da alimentação para:
51,7^{\circ} \mathrm{C}. O calor de vaporização da solução na alimentação é 3,770 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou listar tudo com calma para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Vazão de alimentação: }F=24950\\ \mathrm{kg/h}\\\ &\text{Sólidos na alimentação: }x_F=0{,}10\\ (\text{10 \% em massa})\\\ &\text{Sólidos no produto: }x_P=0{,}50\\ (\text{50 \% em massa})\\\ &\text{Pressão manométrica do vapor gerador: }1{,}03\\ \mathrm{atm}\\ \text{(saturado a }120{,}5^\circ\mathrm{C})\\\ &\text{Calor latente do vapor de aquecimento (condensação): }\lambda_s=2200\\ \mathrm{kJ/kg}\\\ &\text{Pressão absoluta na região de vapor da solução: }102\\ \mathrm{mmHg}\\ (\text{dado})\\\ &\text{Temperatura de ebulição da solução: }T_b=51{,}7^\circ\mathrm{C}\\ (\text{dado})\\\ &\text{Calor latente da solução à }T_b:\\ \lambda=2380\\ \mathrm{kJ/kg}\\\ &\text{Coeficiente global de troca de calor: }U=2800\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}\\\ &\text{Calor específico da solução (para aquecer até ebulição): }c_p=3{,}770\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}\\\ &\text{Considerações: elevação ebuliométrica e calor de diluição desprezíveis.}\\\ &\text{Ponto pedido: calcular consumo de vapor, economia e área de troca para }T_{\text{alimentação}}=51{,}7^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}ãçãóçãóãéçãããçãçãçãçãàíçãéçãçõçãéçãíáçã
Observação importante: aqui a alimentação já está na temperatura de ebulição T_b, então não haverá aquecimento sensível da alimentação antes da ebulição (termo sensível será zero). A resolução só começa no próximo passo.

Passo 2

Balanço de massa para sólidos e cálculo das vazões de produto e de vapor gerado:
  • Primeiro, massa de sólidos na alimentação:
S = F \cdot x_F = 24950\cdot 0{,}10 = 2495\\ \mathrm{kg/h}.
  • Como no produto a fração de sólidos é x_P=0{,}50, a vazão de produto P é:
P = \frac{S}{x_P} = \frac{2495}{0{,}50} = 4990\\ \mathrm{kg/h}.
  • A vazão de vapor (água evaporada) E é a diferença entre alimentação e produto:
E = F - P = 24950 - 4990 = 19960\\ \mathrm{kg/h}.
Esses valores são diretos do balanço de massa e fundamentais para o balanço de energia.

Passo 3

Montagem do balanço de energia e explicação das grandezas usadas:
  • Ideia física: o calor fornecido pela condensação do vapor de aquecimento é usado para vaporizar a água na solução (termo principal) e para aquecer a alimentação até a temperatura de ebulição (termo sensível). A equação geral é:
\dot m_s \,\lambda_s = E\,\lambda + F\,c_p\,(T_b - T_{\text{feed}}),
onde
  • \dot m_s é a vazão de vapor de aquecimento (kg/h) que queremos achar;
  • \lambda_s é o calor liberado por kg de vapor que condensa (kJ/kg);
  • E é a massa de água evaporada (kg/h);
  • \lambda é o calor de vaporização da solução (kJ/kg);
  • F é a vazão de alimentação (kg/h);
  • c_p é o calor específico da solução (kJ/(kg·°C));
  • T_b é a temperatura de ebulição da solução (°C);
  • T_{\text{feed}} é a temperatura da alimentação (°C).
  • No nosso caso T_{\text{feed}}=T_b=51{,}7^\circ\mathrm{C}, logo o termo sensível F c_p (T_b-T_{\text{feed}}) é nulo. Assim a equação simplifica para:
\dot m_s\,\lambda_s = E\,\lambda.
  • Portanto a vazão de vapor necessária é:
\dot m_s = \frac{E\,\lambda}{\lambda_s}.
Agora substituímos os números (faço as contas passo a passo):
E\,\lambda = 19960\\ \mathrm{kg/h}\times 2380\\ \mathrm{kJ/kg} = 47\,504\,800\\ \mathrm{kJ/h}.
\dot m_s = \frac{47\,504\,800}{2200} = 21\,594\\ \mathrm{kg/h}.
(Arredondei para inteiro na última casa; se quiser mais casas decimais é 21\,593{,}999\ldots kg/h.)

Passo 4

Cálculo da economia (eficiência térmica) e interpretação:
  • Definição prática de economia em evaporadores simples: é a quantidade de água evaporada por unidade de vapor de aquecimento consumido:
\text{economia} = \frac{E}{\dot m_s}.
  • Substituindo:
\text{economia} = \frac{19960}{21594} \approx 0{,}924.
Interpretação: com 1 kg de vapor de aquecimento conseguimos evaporar cerca de 0{,}924 kg de água da solução (em um efeito, sem recompressão ou múltiplos efeitos).

Passo 5

Cálculo da superfície de troca térmica requerida (explicando a fórmula e unidades):
  • Potência térmica necessária Q (em W) é a energia por unidade de tempo fornecida pelo vapor, igual a \dot m_s \lambda_s convertido para W. Cuidado com unidades: \lambda_s em kJ/kg e vazão em kg/h; para obter W usamos a conversão 1\\ \mathrm{kJ/h} = \tfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{W} (ou dividir kJ/h por 3{,}6 para obter W).
Q = \frac{E\,\lambda}{3{,}6} = \frac{47\,504\,800\\ \mathrm{kJ/h}}{3{,}6} = 13\,196\,888{,}9\\ \mathrm{W}.
(ou mais diretamente Q=\dot m_s\lambda_s/3{,}6, dá o mesmo resultado.)
  • A área requerida A vem da equação de transferência de calor:
Q = U \, A \, \Delta T_{\text{m}},
onde \Delta T_{\text{m}} é a diferença de temperatura média logarítmica. Porém, neste caso particular:
  • O vapor de aquecimento condensa praticamente à temperatura constante T_s=120{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • A solução ferve praticamente à temperatura constante T_b=51{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • Logo a diferença de temperatura entre o vapor e a solução é praticamente constante em todo o trocador, \Delta T_{\text{m}}=T_s-T_b.
\Delta T = 120{,}5 - 51{,}7 = 68{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Assim:
A = \frac{Q}{U\,\Delta T} = \frac{13\,196\,888{,}9}{2800\times 68{,}8}.
Faço o denominador:
2800\times 68{,}8 = 192\,640.
Portanto
A = \frac{13\,196\,888{,}9}{192\,640} \approx 68{,}53\\ \mathrm{m}^2.
Arredondando com uma casa decimal, A\approx 68{,}5\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Resumo final e interpretação curta (para você levar para a prova):
  • Fizemos balanço de massa para achar a vazão de vaporizada E.
  • Fizemos balanço de energia simples porque a alimentação já está na temperatura de ebulição (termo sensível zero).
  • A economia é menor que 1 porque \lambda da solução é maior que \lambda_s do vapor de aquecimento (a cada kg de vapor de aquecimento não conseguimos vaporizar 1 kg de solução inteira).
  • A área é razoável (ordem de dezenas de m^2) dada a grande diferença de temperatura entre vapor e solução.

Resposta

Consumo de vapor: 21594\\ \mathrm{kg/h}
Economia: 0{,}924\\ \mathrm{kg\\ de\\ água\\ evaporada/kg\\ de\\ vapor}á
Área requerida: 68{,}5\\ \mathrm{m}^2

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