Um fluido pseudoplástico com
está escoando através de um tubo circular de diâmetro interno de
à uma velocidade média de
. As propriedades reológicas do fluido são
e
.
Qual a perda de carga se o fluido for suco de laranja concentrado (
)?
Qual a perda de carga se o fluido for suco de laranja concentrado (
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a perda de carga para o escoamento do suco de laranja concentrado (não foi informado comprimento de tubo):
- Densidade:
. - Diâmetro interno do tubo:
. - Velocidade média:
. - Parâmetros reológicos do fluido (modelo lei de potência / Ostwald-de Waele):
e .
O enunciado pergunta “Qual a perda de carga?” Como o comprimento do tubo não foi informado, vou calcular a perda de carga por unidade de comprimento (ou seja,em e também o correspondente em metros de coluna de fluido). Essa é a forma usual quando só temos os dados acima.
Passo 2
Modelo físico e equações básicas — o que significam
e
e por que usamos isso.
- Para um fluido pseudoplástico (shear-thinning) usamos o modelo lei de potência:
, onde é a tensão de cisalhamento e é a taxa de deformação. -
é a consistência (unidade ) e indica “viscosidade característica” do fluido; é o expoente de comportamento: se o fluido é pseudoplástico (viscosidade efetiva decresce com cisalhamento). - Para escoamento em tubo precisamos saber se o escoamento é laminar ou turbulento; para fluidos do tipo lei de potência usa-se o número de Reynolds generalizado (Metzner–Reed) para decidir a região de escoamento e escolher correlação para o fator de atrito.
Passo 3
Definir e calcular o número de Reynolds generalizado (Metzner–Reed).
A definição que usaremos é
A definição que usaremos é
Explicando cada símbolo:
-
é a densidade do fluido ( ). -
é a velocidade média no tubo ( ). -
é o diâmetro do tubo ( ). -
e são os parâmetros da lei de potência. - O fator
vem da relação entre velocidade média e taxa de cisalhamento característica para escoamento em tubo no modelo de potência (é a forma clássica da correção de Metzner–Reed).
Agora calculamos passo a passo (mostrando valores intermediários):
-
. -
. Calculando: . -
. - Produto no numerador:
-
. - Denominador:
Portanto
Passo 4
Classificação do escoamento (laminar vs turbulento).
- Para escoamentos de lei de potência costuma-se usar valores críticos semelhantes ao caso Newtoniano em termos de
(regra prática: da ordem de algumas milhares separa regimes; abaixo de costuma indicar laminar). - Nosso resultado
é bem maior que , portanto o escoamento está na região turbulenta. Logo precisamos de uma correlação de fator de atrito adequada ao regime turbulento.
Passo 5
Escolha da correlação para o fator de atrito
.
- Para fluidos power-law existe a correlação de Dodge & Metzner que dá
com dependentes de . Mas os valores exatos de exigem tabelas/ajustes experimentais. - Em provas e cálculos de engenharia, quando se busca estimativa ou não se tem a tabela, é comum usar uma forma análoga à correlação de Blasius (válida para Newtoniano em regime turbulento suave) e substituir
por . A forma de Blasius é
- Essa aproximação dá um valor razoável como estimativa quando não se dispõe dos coeficientes específicos de Dodge–Metzner. Vou usá-la aqui por ser simples e prática — expliquei a escolha porque não foram fornecidos os coeficientes experimentais específicos para
.
Passo 6
Calcular o fator de atrito
pela aproximação de Blasius com
:
Substituindo
(valor calculado com precisão anterior):
- Primeiro
- Assim
Passo 7
Usar a equação de Darcy–Weisbach para obter perda de carga (gradiente de pressão):
Calculando passo a passo:
-
-
-
- Multiplicando por
:
Passo 8
Converter para perda de carga em metros de coluna de fluido (altura equivalente), se quiser:
Usando
:
Passo 9
Observações finais e confiança do resultado:
- Resultado obtido é uma estimativa, pois usei a aproximação de Blasius (substituindo
por ) para o fator de atrito no regime turbulento. Para precisão maior seria preciso usar os coeficientes específicos de Dodge–Metzner para (ou curvas experimentais). - Mesmo como estimativa, o resultado indica uma perda de carga muito elevada (da ordem de
ou de coluna por metro), compatível com um fluido bastante viscoso e um tubo de pequeno diâmetro com velocidade elevada. - Se você tiver o comprimento do trecho, multiplica
por para obter a queda de pressão total.