Um fluido pseudoplástico com \rho=961 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} está escoando através de um tubo circular de diâmetro interno de 0,0508 \mathrm{~m} à uma velocidade média de 6,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. As propriedades reológicas do fluido são \mathrm{n}^{\prime}=0,3 e \mathrm{K}^{\prime}=2,7444 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}^{\mathrm{n}} .
Qual a perda de carga se o fluido for suco de laranja concentrado ( 60{ }^{\circ} \mathrm{Brix}, \mathrm{T}=50{ }^{\circ} \mathrm{C} )?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a perda de carga para o escoamento do suco de laranja concentrado (não foi informado comprimento de tubo):
  • Densidade: \rho = 961\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Diâmetro interno do tubo: D = 0,0508\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média: V = 6,1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Parâmetros reológicos do fluido (modelo lei de potência / Ostwald-de Waele): n' = 0,3 e K' = 2,7444\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^{n'}.
    O enunciado pergunta “Qual a perda de carga?” Como o comprimento do tubo não foi informado, vou calcular a perda de carga por unidade de comprimento (ou seja, \Delta p / L em \mathrm{Pa}/\mathrm{m} e também o correspondente h_f/L em metros de coluna de fluido). Essa é a forma usual quando só temos os dados acima.

Passo 2

Modelo físico e equações básicas — o que significam n' e K' e por que usamos isso.
  • Para um fluido pseudoplástico (shear-thinning) usamos o modelo lei de potência: \tau = K' \dot{\gamma}^{\,n'}, onde \tau é a tensão de cisalhamento e \dot{\gamma} é a taxa de deformação.
  • K' é a consistência (unidade \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^{n'}) e indica “viscosidade característica” do fluido; n' é o expoente de comportamento: se n'<1 o fluido é pseudoplástico (viscosidade efetiva decresce com cisalhamento).
  • Para escoamento em tubo precisamos saber se o escoamento é laminar ou turbulento; para fluidos do tipo lei de potência usa-se o número de Reynolds generalizado (Metzner–Reed) para decidir a região de escoamento e escolher correlação para o fator de atrito.

Passo 3

Definir e calcular o número de Reynolds generalizado (Metzner–Reed).
A definição que usaremos é
Re_{MR}=\frac{\rho\,V^{\,2-n'}D^{\,n'}}{K'\,8^{\,n'-1}}.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
  • V é a velocidade média no tubo ( \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • D é o diâmetro do tubo ( \mathrm{m}).
  • K' e n' são os parâmetros da lei de potência.
  • O fator 8^{\,n'-1} vem da relação entre velocidade média e taxa de cisalhamento característica para escoamento em tubo no modelo de potência (é a forma clássica da correção de Metzner–Reed).
Agora calculamos passo a passo (mostrando valores intermediários):
  • 2-n' = 2-0,3 = 1,7.
  • V^{\,2-n'} = 6,1^{1,7}. Calculando: 6,1^{1,7}\approx 21,62.
  • D^{\,n'} = 0,0508^{0,3}\approx 0,409.
  • Produto no numerador: \rho\,V^{\,2-n'}D^{\,n'} \approx 961\cdot 21,62\cdot 0,409 \approx 8{,}501\times 10^{3}.
  • 8^{\,n'-1}=8^{-0,7} \approx 0,2333.
  • Denominador: K'\,8^{\,n'-1} = 2{,}7444\cdot 0,2333 \approx 0,6400.
    Portanto
Re_{MR}\approx \frac{8{,}501\times10^{3}}{0,6400}\approx 1{,}33\times10^{4}.

Passo 4

Classificação do escoamento (laminar vs turbulento).
  • Para escoamentos de lei de potência costuma-se usar valores críticos semelhantes ao caso Newtoniano em termos de Re_{MR} (regra prática: Re_{MR} da ordem de algumas milhares separa regimes; abaixo de \sim 2{,}000 costuma indicar laminar).
  • Nosso resultado \,Re_{MR}\approx 1,33\times10^{4}\, é bem maior que 2{,}000, portanto o escoamento está na região turbulenta. Logo precisamos de uma correlação de fator de atrito adequada ao regime turbulento.

Passo 5

Escolha da correlação para o fator de atrito f.
  • Para fluidos power-law existe a correlação de Dodge & Metzner que dá f=\alpha\,Re_{MR}^{-\beta} com \alpha,\beta dependentes de n'. Mas os valores exatos de \alpha,\beta exigem tabelas/ajustes experimentais.
  • Em provas e cálculos de engenharia, quando se busca estimativa ou não se tem a tabela, é comum usar uma forma análoga à correlação de Blasius (válida para Newtoniano em regime turbulento suave) e substituir Re por Re_{MR}. A forma de Blasius é
f \approx 0{,}3164\,Re^{-0,25}.
  • Essa aproximação dá um valor razoável como estimativa quando não se dispõe dos coeficientes específicos de Dodge–Metzner. Vou usá-la aqui por ser simples e prática — expliquei a escolha porque não foram fornecidos os coeficientes experimentais específicos para n'=0,3.

Passo 6

Calcular o fator de atrito f pela aproximação de Blasius com Re_{MR}:
f \approx 0{,}3164\,Re_{MR}^{-0,25}.
Substituindo Re_{MR}\approx 1{,}328\times10^{4} (valor calculado com precisão anterior):
  • Primeiro Re_{MR}^{-0,25} \approx (1{,}328\times10^{4})^{-0,25}\approx 0{,}09323.
  • Assim f \approx 0{,}3164\cdot 0{,}09323 \approx 0{,}02948.

Passo 7

Usar a equação de Darcy–Weisbach para obter perda de carga (gradiente de pressão):
\frac{\Delta p}{L} = f\,\frac{\rho\,V^{2}}{2D}.
Calculando passo a passo:
  • V^{2} = 6,1^{2} = 37,21\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
  • \rho V^{2} = 961\cdot 37,21 \approx 3{,}5759\times10^{4}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^2)=\mathrm{Pa}.
  • \dfrac{\rho V^{2}}{2D} = \dfrac{3{,}5759\times10^{4}}{2\cdot 0,0508} = \dfrac{3{,}5759\times10^{4}}{0,1016}\approx 3{,}5200\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.
  • Multiplicando por f: \dfrac{\Delta p}{L}\approx 0{,}02948\cdot 3{,}5200\times10^{5}\approx 1{,}0378\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}.

Passo 8

Converter para perda de carga em metros de coluna de fluido (altura equivalente), se quiser:
\frac{h_f}{L}=\frac{\Delta p/L}{\rho g}.
Usando g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2:
  • \rho g = 961\cdot 9,81 \approx 9{,}427{,}4\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.
  • \dfrac{h_f}{L}\approx \dfrac{1{,}0378\times10^{4}}{9{,}427{,}4}\approx 1{,}10\\ \mathrm{m/m}.

Passo 9

Observações finais e confiança do resultado:
  • Resultado obtido é uma estimativa, pois usei a aproximação de Blasius (substituindo Re por Re_{MR}) para o fator de atrito no regime turbulento. Para precisão maior seria preciso usar os coeficientes específicos de Dodge–Metzner para n'=0,3 (ou curvas experimentais).
  • Mesmo como estimativa, o resultado indica uma perda de carga muito elevada (da ordem de 10{,}4\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m} ou \sim 1\\ \mathrm{m} de coluna por metro), compatível com um fluido bastante viscoso e um tubo de pequeno diâmetro com velocidade elevada.
  • Se você tiver o comprimento do trecho, multiplica \Delta p/L por L para obter a queda de pressão total.

Resposta

\dfrac{\Delta p}{L}\approx 1{,}04\cdot 10^{4}\\ \mathrm{Pa}/\mathrm{m}
\dfrac{h_f}{L}\approx 1{,}10\\ \mathrm{m/m}

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