Qual é a solução da equação
E da equação
?
Passo 1
O enunciado pede para resolver duas equações e encontrar os valores de
:
- Equação (A):
. - Equação (B):
.
Informações relevantes dadas:
- Na equação (A) aparece a exponencial com base
: . - Na equação (B) aparece o logaritmo natural
aplicado à expressão . - Para usar
é necessário que o argumento seja positivo, ou seja, deve valer .
Passo 2
Breve explicação didática sobre exponencial e logaritmo natural (coisa que vamos usar nos passos seguintes):
- A função exponencial
toma qualquer número real e retorna um número positivo. Exemplo: . - O logaritmo natural
é a função inversa da exponencial: para todo vale . E para todo vale . - Propriedade importante do logaritmo:
quando . - Para resolver equações com
ou normalmente isolamos a exponencial ou o logaritmo e aplicamos a função inversa (tomar de ambos os lados ou exponenciar ambos os lados) — isso é seguro porque é estritamente crescente e é bem definida só para argumentos positivos.
Passo 3
Resolver a equação (A):
.
- Aplicar o logaritmo natural aos dois lados para “trazer o expoente para baixo”, usando que
. Assim:
- O lado esquerdo simplifica para
. Logo:
- Isolar
dividindo por :
- Podemos simplificar
usando que e a propriedade :
- Substituindo na expressão para
:
- Resultado exato:
. (Se quiser aproximar numericamente, .)
Passo 4
Verificação rápida da solução (A):
Substituindo em
:
Substituindo
portanto a solução está correta.
Passo 5
Resolver a equação (B):
.
- Primeiro isolar o logaritmo somando
em ambos os lados:
- Isso dá:
- Agora usamos que
para eliminar o : exponenciando ambos os lados,
- Isolando
:
Passo 6
Verificação de domínio e da solução (B):
- Antes de aplicar
precisamos do argumento positivo; aqui o resultado dá . Como , temos . Substituindo numericamente , obtemos , que satisfaz . Portanto a solução é válida. - Verificação direta: calcular
com :
então
, que coincide com o lado esquerdo da equação original.