Qual é a solução da equação \mathrm{e}^{2 x}=100 ?
E da equação 3=\ln (37+x)-1 ?

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações e encontrar os valores de x:
  • Equação (A): \mathrm{e}^{2 x}=100.
  • Equação (B): 3=\ln(37+x)-1.
Informações relevantes dadas:
  • Na equação (A) aparece a exponencial com base e: \mathrm{e}^{2x}.
  • Na equação (B) aparece o logaritmo natural \ln(\cdot) aplicado à expressão 37+x.
  • Para usar \ln(\cdot) é necessário que o argumento seja positivo, ou seja, deve valer 37+x>0.

Passo 2

Breve explicação didática sobre exponencial e logaritmo natural (coisa que vamos usar nos passos seguintes):
  • A função exponencial \mathrm{e}^{t} toma qualquer número real t e retorna um número positivo. Exemplo: \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,718\ldots.
  • O logaritmo natural \ln(y) é a função inversa da exponencial: para todo t\in\mathbb{R} vale \ln\big(\mathrm{e}^{t}\big)=t. E para todo y>0 vale \mathrm{e}^{\ln y}=y.
  • Propriedade importante do logaritmo: \ln(a^b)=b\ln(a) quando a>0.
  • Para resolver equações com \mathrm{e}^{(\cdot)} ou \ln(\cdot) normalmente isolamos a exponencial ou o logaritmo e aplicamos a função inversa (tomar \ln de ambos os lados ou exponenciar ambos os lados) — isso é seguro porque \mathrm{e}^{x} é estritamente crescente e \ln é bem definida só para argumentos positivos.

Passo 3

Resolver a equação (A): \mathrm{e}^{2 x}=100.
  1. Aplicar o logaritmo natural aos dois lados para “trazer o expoente para baixo”, usando que \ln\big(\mathrm{e}^{t}\big)=t. Assim:
\ln\big(\mathrm{e}^{2x}\big)=\ln(100).
  1. O lado esquerdo simplifica para 2x. Logo:
2x=\ln(100).
  1. Isolar x dividindo por 2:
x=\frac{\ln(100)}{2}.
  1. Podemos simplificar \ln(100) usando que 100=10^{2} e a propriedade \ln(a^{b})=b\ln(a):
\ln(100)=\ln\big(10^{2}\big)=2\ln(10).
  1. Substituindo na expressão para x:
x=\frac{2\ln(10)}{2}=\ln(10).
  1. Resultado exato: x=\ln(10). (Se quiser aproximar numericamente, \ln(10)\approx 2{,}302585.)

Passo 4

Verificação rápida da solução (A):
Substituindo x=\ln(10) em \mathrm{e}^{2x}:
\mathrm{e}^{2\ln(10)}=\mathrm{e}^{\ln(10^{2})}=10^{2}=100,
portanto a solução está correta.

Passo 5

Resolver a equação (B): 3=\ln(37+x)-1.
  1. Primeiro isolar o logaritmo somando 1 em ambos os lados:
3+1=\ln(37+x).
  1. Isso dá:
4=\ln(37+x).
  1. Agora usamos que \mathrm{e}^{\ln(y)}=y para eliminar o \ln: exponenciando ambos os lados,
\mathrm{e}^{4}=37+x.
  1. Isolando x:
x=\mathrm{e}^{4}-37.

Passo 6

Verificação de domínio e da solução (B):
  • Antes de aplicar \ln precisamos do argumento positivo; aqui o resultado dá x=\mathrm{e}^{4}-37. Como \mathrm{e}^{4}>0, temos \mathrm{e}^{4}-37>-37. Substituindo numericamente \mathrm{e}^{4}\approx 54{,}598150, obtemos x\approx 17{,}598150, que satisfaz 37+x>0. Portanto a solução é válida.
  • Verificação direta: calcular \ln(37+x) com x=\mathrm{e}^{4}-37:
\ln(37+x)=\ln(\mathrm{e}^{4})=4,
então \ln(37+x)-1=4-1=3, que coincide com o lado esquerdo da equação original.

Resposta

x=\ln(10)
x=\mathrm{e}^{4}-37

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