Se o número
é solução da equação
, então o valor de
é igual a:
a) 0,25
b) 0,5
c) 0,75
d) 1,00
a) 0,25
b) 0,5
c) 0,75
d) 1,00
Passo 1
O enunciado dá a equação
e diz que o número
é solução dessa equação. O que nos pede é calcular o valor de
para esse
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação a satisfazer por
é (substituindo por ). - Precisamos lembrar as condições de existência de um logaritmo: a base deve ser positiva e diferente de
, e o argumento deve ser positivo.
Passo 2
Vou transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica usando a definição de logaritmo. Lembrete prático:
desde que
,
e
.
Aplicando isso em
obtemos:
Passo 3
Resolver a equação quadrática que apareceu. Desenvolvendo a potência e rearranjando:
Igualando a
:
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
Portanto as soluções algébricas são
e
.
Passo 4
Agora verificamos as condições de existência do logaritmo original para cada candidato:
- Se
, então a base do logaritmo seria , que não é positiva, logo não está definido. Assim é rejeitado. - Se
, então a base é (positivo e diferente de ) e o argumento é (positivo). Portanto é uma solução válida.
Concluímos que o
que interessa é
.
Passo 5
Calcular
para
. Primeiro substituir:
Transformar a raiz em potência e escrever as bases na forma
para facilitar:
Usando a propriedade
ou simplesmente a relação de potências:
Em decimal isso é
.
Resposta
c)