Se o número k é solução da equação \log _{\mathrm{x}-1}(2 \mathrm{x}+1)=2, então o valor de \log _{\mathrm{k}} \sqrt{\mathrm{k}+4} é igual a:
a) 0,25
b) 0,5
c) 0,75
d) 1,00

Passo 1

O enunciado dá a equação \log_{x-1}(2x+1)=2 e diz que o número k é solução dessa equação. O que nos pede é calcular o valor de \log_{k}\sqrt{k+4} para esse k. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação a satisfazer por k é \log_{k-1}(2k+1)=2 (substituindo x por k).
  • Precisamos lembrar as condições de existência de um logaritmo: a base deve ser positiva e diferente de 1, e o argumento deve ser positivo.

Passo 2

Vou transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica usando a definição de logaritmo. Lembrete prático:
\log_{a} b = c \iff a^{c}=b,
desde que a>0, a\neq1 e b>0.
Aplicando isso em \log_{k-1}(2k+1)=2 obtemos:
(k-1)^{2}=2k+1.

Passo 3

Resolver a equação quadrática que apareceu. Desenvolvendo a potência e rearranjando:
(k-1)^{2}=k^{2}-2k+1.
Igualando a 2k+1:
k^{2}-2k+1=2k+1.
Subtraindo 2k+1 dos dois lados:
k^{2}-4k=0.
Fatorando:
k(k-4)=0.
Portanto as soluções algébricas são \;k=0 e \;k=4.

Passo 4

Agora verificamos as condições de existência do logaritmo original para cada candidato:
  • Se k=0, então a base do logaritmo seria k-1= -1, que não é positiva, logo \log_{k-1}(2k+1) não está definido. Assim k=0 é rejeitado.
  • Se k=4, então a base é k-1=3 (positivo e diferente de 1) e o argumento é 2k+1=9 (positivo). Portanto k=4 é uma solução válida.
Concluímos que o k que interessa é \;k=4.

Passo 5

Calcular \log_{k}\sqrt{k+4} para k=4. Primeiro substituir:
\log_{4}\sqrt{4+4}=\log_{4}\sqrt{8}.
Transformar a raiz em potência e escrever as bases na forma 2^{\cdot} para facilitar:
\sqrt{8}=8^{1/2}=(2^{3})^{1/2}=2^{3/2}, \qquad 4=2^{2}.
Usando a propriedade \log_{a} b = \dfrac{\ln b}{\ln a} ou simplesmente a relação de potências:
\log_{2^{2}}2^{3/2}=\frac{3/2}{2}=\frac{3}{4}.
Em decimal isso é \;0{,}75.

Resposta

c) 0{,}75

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