Qual é o valor de k nas expressões?
c) \mathrm{K}=(3)^{-\log _{5} 7 \cdot \log _{3} 5}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\mathrm{K}=(3)^{-\log_{5}7\cdot\log_{3}5}
e pede para encontrar o valor de \mathrm{K}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A base da potência é 3.
  • O expoente é -\log_{5}7\cdot\log_{3}5.
  • Precisa-se simplificar usando propriedades de logaritmos e potências.

Passo 2

Lembrete útil sobre logaritmos (explicado devagarinho):
  • Por definição, \log_{a}b é o número y tal que a^{y}=b. Ou seja, \log_{a}b é o expoente que transforma a em b.
  • A fórmula de mudança de base diz que, para quaisquer bases positivas a,b e c diferentes de 1,
\log_{b}c=\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}.
Isso vem de escrever ambos os logaritmos em uma mesma base (por exemplo, a base a).

Passo 3

Use a mudança de base para simplificar o produto de logaritmos do expoente. Observe que
\log_{5}7=\frac{\log_{3}7}{\log_{3}5}.
Multiplicando pelos \log_{3}5 que aparece no expoente, obtém-se
\log_{3}5\cdot\log_{5}7=\log_{3}5\cdot\frac{\log_{3}7}{\log_{3}5}=\log_{3}7.
Portanto o expoente original simplifica para -\log_{3}7.

Passo 4

Substituindo na expressão de \mathrm{K} temos
\mathrm{K}=3^{-\log_{3}7}.
Agora usamos a propriedade de potências e logaritmos: para base positiva a e x>0,
a^{\log_{a}x}=x.
Aplicando isso a 3^{\log_{3}7} obtemos 3^{\log_{3}7}=7. Assim
3^{-\log_{3}7}=\frac{1}{3^{\log_{3}7}}=\frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{K}=\frac{1}{7}

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