A solução de uma equação não homogênea a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) é dada por
\varphi(t)=y_{1}(t)+y_{p}(t)
Onde y_{1} é a solução geral de a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 e y_{p} é uma solução particular da equação não homogênea. A solução y_{p} pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função g.
1^{\circ} Caso. Se g(t) é um polinômio de graus n, suponha que a solução seja uma função
y_{p}(t)=a_{n} t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\cdots+a_{1} t+a_{0}
onde os a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} devem ser determinados afim de satisfazer a equação diferencial não homogênea.
2^{\circ} Caso. Se g(t)=e^{c t}, suponha que y_{p}(t)=A e^{c t}, onde a constante A deve ser tal que y_{p}(t) satisfaz a equação não homogênea.
2^{\circ} Caso. Se g(t)=c sent ou g(t)=d \cos t, considere y_{p}(t)=A sent +B \cos t, onde A e B devem satisfazer a equação não homogênea.

Passo 1

O enunciado nos lembra que a solução geral de uma EDO linear não homogênea
a\,y'' + b\,y' + c\,y = g(t)
é dada por
\varphi(t) = y_{1}(t) + y_{p}(t),
onde y_{1} é a solução geral da homogênea
a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0
e y_{p} é uma solução particular da não homogênea, que vamos determinar pelo método dos coeficientes indeterminados. Esse método depende da forma de g(t).

Passo 2

Caso 1 (polinomial). Se
g(t)\text{ é um polinômio de grau }n,éô
então supomos
y_{p}(t)=A_{n}t^{n}+A_{n-1}t^{n-1}+\cdots+A_{1}t+A_{0},
com constantes A_{0},A_{1},\dots,A_{n} a determinar. Inserimos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na EDO, igualamos coeficientes de potências de t e resolvemos o sistema para A_{k}.

Passo 3

Caso 2 (exponencial). Se
g(t)=e^{\alpha t},
supomos
y_{p}(t)=A\,e^{\alpha t}.
Derivando e substituindo na EDO, obtemos
a(\alpha^{2}A\,e^{\alpha t})+b(\alpha A\,e^{\alpha t})+c(A\,e^{\alpha t})=e^{\alpha t},
o que leva a
A\bigl(a\alpha^{2}+b\alpha+c\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{a\alpha^{2}+b\alpha+c}.

Passo 4

Caso 3 (seno e cosseno). Se
g(t)=D\sin(\beta t)+E\cos(\beta t),
supomos
y_{p}(t)=A\sin(\beta t)+B\cos(\beta t).
Ao derivar duas vezes e substituir na EDO, igualamos os coeficientes de \sin(\beta t) e de \cos(\beta t) em ambos os lados, obtendo um sistema linear para A e B.

Passo 5

Ajuste em caso de ressonância. Se o termo escolhido para y_{p} coincide com uma solução de y_{1} (isto é, se \alpha ou i\beta for raiz do polinômio característico a r^{2}+b r+c), multiplicamos o palpite por t^{s}, onde s é a multiplicidade dessa raiz na homogênea. Assim garantimos independência linear entre y_{p} e y_{1}.

Resposta

Para g(t) polinomial de grau n:
y_{p}(t)=A_{n}t^{n}+\cdots+A_{0}.
Para g(t)=e^{\alpha t}:
y_{p}(t)=A e^{\alpha t},\quad A=\frac{1}{a\alpha^{2}+b\alpha+c}.
Para g(t)=D\sin(\beta t)+E\cos(\beta t):
y_{p}(t)=A\sin(\beta t)+B\cos(\beta t).
Se o palpite coincide com uma solução homogênea, multiplica-se por t^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico.

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