A solução de uma equação não homogênea
é dada por
Onde
é a solução geral de
e
é uma solução particular da equação não homogênea. A solução
pode ser encontrada pelo método dos coeficientes indeterminados. Este método depende da função
.
Caso. Se
é um polinômio de graus
, suponha que a solução seja uma função
onde os
devem ser determinados afim de satisfazer a equação diferencial não homogênea.
Caso. Se
, suponha que
, onde a constante
deve ser tal que
satisfaz a equação não homogênea.
Caso. Se
sent ou
, considere
sent
, onde A e
devem satisfazer a equação não homogênea.
Passo 1
O enunciado nos lembra que a solução geral de uma EDO linear não homogênea
é dada por
onde
é a solução geral da homogênea
e
é uma solução particular da não homogênea, que vamos determinar pelo método dos coeficientes indeterminados. Esse método depende da forma de
.
Passo 2
Caso 1 (polinomial). Se
então supomos
com constantes
a determinar. Inserimos
,
e
na EDO, igualamos coeficientes de potências de
e resolvemos o sistema para
.
Passo 3
Caso 2 (exponencial). Se
supomos
Derivando e substituindo na EDO, obtemos
o que leva a
Passo 4
Caso 3 (seno e cosseno). Se
supomos
Ao derivar duas vezes e substituir na EDO, igualamos os coeficientes de
e de
em ambos os lados, obtendo um sistema linear para
e
.
Passo 5
Ajuste em caso de ressonância. Se o termo escolhido para
coincide com uma solução de
(isto é, se
ou
for raiz do polinômio característico
), multiplicamos o palpite por
, onde
é a multiplicidade dessa raiz na homogênea. Assim garantimos independência linear entre
e
.
Resposta
Para
polinomial de grau
:
Para
:
Para
:
Se o palpite coincide com uma solução homogênea, multiplica-se por
, onde
é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico.