Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Para as sequências convergentes encontre seu limite.
\left(3^{n} 7^{-n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = 3^{n}7^{-n}
é convergente ou divergente, e, em caso de convergência, encontrar o seu limite. O conteúdo aqui é sequência geométrica, cuja convergência depende do valor da razão.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como potência de uma razão única. Note que
a_n = 3^{n}7^{-n} = \biggl(\frac{3}{7}\biggr)^{n}.

Passo 3

Para uma sequência geométrica r^{n}\), sabemos que: \[\begin{cases} \text{se }|r|<1,\text{ então }r^{n}\to 0,\\\ \text{se }|r|>1,\text{ então }r^{n}\to\pm\infty,\\\ \text{se }|r|=1,\text{ então }r^{n}\text{ diverge ou é constante.} \end{cases}
Aqui r=\tfrac{3}{7}\] e \(\bigl|\tfrac{3}{7}\bigr|<1. Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}3^{n}7^{-n}=0.

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