Solução de Equações Diferenciais Ordinárias através de Transformada de Laplace.
\ddot{y}+15 \dot{y}+6 y=3 \dot{u}+7 u \therefore y(0)=0, \dot{y}(0)=0, u(0)=0, u=t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a EDO
\ddot{y}(t)+15\dot{y}(t)+6y(t)=3\dot{u}(t)+7u(t),
com condições iniciais \,y(0)=0, \dot y(0)=0, e entrada u(t)=t.
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace de derivadas e a decomposição em frações parciais para inverter Y(s).

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo e usando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, U(s)=\mathcal{L}\{u(t)\} e as condições iniciais, obtemos
s^2Y(s)+15\bigl(sY(s)\bigr)+6Y(s) =\bigl(3s+7\bigr)U(s).
Como u(t)=t implica U(s)=1/s^2, fica
\bigl(s^2+15s+6\bigr)Y(s) =\frac{3s+7}{s^2},
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Y(s)=\frac{3s+7}{s^2\,(s^2+15s+6)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{3s+7}{s^2\,(s^2+15s+6)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{Cs+D}{s^2+15s+6}.
Multiplicando por s^2(s^2+15s+6) e igualando coeficientes de potências de s, obtemos
A=-\frac{29}{12},\quad B=\frac{7}{6},\quad C=\frac{29}{12},\quad D=\frac{421}{12}.

Passo 4

Invertendo termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{A/s\}=A,
\mathcal{L}^{-1}\{B/s^2\}=B\,t.
Para \displaystyle\frac{Cs+D}{s^2+15s+6} fatoramos
s^2+15s+6=(s-r_1)(s-r_2), \quad r_1=\frac{-15+\sqrt{201}}{2},\; r_2=\frac{-15-\sqrt{201}}{2},
e escrevemos
\frac{Cs+D}{(s-r_1)(s-r_2)} =\frac{E}{s-r_1}+\frac{F}{s-r_2},
com
E=\frac{407+29\sqrt{201}}{24\sqrt{201}}, \quad F=\frac{29\sqrt{201}-407}{24\sqrt{201}}.
Então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{Cs+D}{s^2+15s+6}\Bigr\} =E\,e^{r_1t}+F\,e^{r_2t}.

Passo 5

Reunindo tudo,
y(t) =A + B\,t + E\,e^{r_1t} + F\,e^{r_2t},
substituindo os valores de A,B,r_1,r_2,E,F.

Resposta

y(t) =-\frac{29}{12} +\frac{7}{6}\,t +\frac{407+29\sqrt{201}}{24\sqrt{201}}\, e^{-\tfrac{15-\sqrt{201}}{2}t} +\frac{29\sqrt{201}-407}{24\sqrt{201}}\, e^{-\tfrac{15+\sqrt{201}}{2}t}.

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