Solução de Equações Diferenciais Ordinárias através de Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
e
.
Para isso vamos usar as fórmulas
e
,
onde .
Para isso vamos usar as fórmulas
onde
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais zero, obtemos
Agrupando em
:
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio do segundo grau
onde as raízes são
Passo 4
Decompondo em frações simples temos
Multiplicando por
e igualando coeficientes, encontra-se
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
e
, resulta