Solução de Equações Diferenciais Ordinárias através de Transformada de Laplace.
5 \ddot{y}+9 \dot{y}+y=12 \therefore y(0)=0, \dot{y}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
5\ddot y(t)+9\dot y(t)+y(t)=12
sujeita a \,y(0)=0 e \dot y(0)=0.
Para isso vamos usar as fórmulas
\mathcal{L}\{\dot y\}(s)=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{\ddot y\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot y(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais zero, obtemos
5\bigl(s^2Y(s)\bigr)+9\bigl(sY(s)\bigr)+Y(s) =\frac{12}{s}.
Agrupando em Y(s):
Y(s)\bigl(5s^2+9s+1\bigr) =\frac{12}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{12}{s\,(5s^2+9s+1)}.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do segundo grau
5s^2+9s+1 = 5\bigl(s-r_1\bigr)\bigl(s-r_2\bigr)
onde as raízes são
r_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot5\cdot1}}{2\cdot5} =\frac{-9\pm\sqrt{61}}{10}.

Passo 4

Decompondo em frações simples temos
Y(s)=\frac{12}{s}+ \frac{A}{s-r_1} + \frac{B}{s-r_2}.
Multiplicando por s(s-r_1)(s-r_2) e igualando coeficientes, encontra-se
A=\frac{6\,\bigl(-9-\sqrt{61}\bigr)}{\sqrt{61}}, \quad B=\frac{6\,\bigl(9-\sqrt{61}\bigr)}{\sqrt{61}}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-r_i)\}=e^{r_i t}, resulta
y(t) =12 + A\,e^{r_1 t}+B\,e^{r_2 t}.

Resposta

\boxed{ y(t) =12 +\frac{6\,\bigl(-9-\sqrt{61}\bigr)}{\sqrt{61}}\, e^{\frac{-9+\sqrt{61}}{10}\,t} +\frac{6\,\bigl(9-\sqrt{61}\bigr)}{\sqrt{61}}\, e^{\frac{-9-\sqrt{61}}{10}\,t} }.

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