Dê a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
O que se pede: encontrar
que satisfaça essa igualdade para
em um domínio onde tudo faz sentido (por exemplo todo
real, já que
). Não há outras condições iniciais; queremos a família geral de soluções com constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão de primeira ordem, isolando
. Dividindo ambos os lados por
(que não é zero para nenhum
), obtemos
Para clareza, escrevemos em forma habitual
. Aqui
Explico:
é o coeficiente que multiplica
depois de dividir pela função na frente de
;
é o termo restante (lado direito), que aqui ficou negativo.
Passo 3
Usamos o método do fator integrante (um método padrão para EDOs lineares de 1ª ordem). O fator integrante
é definido por
Calculamos a integral de
. Uma forma direta é observar que a derivada de
é
, então
onde
seria uma constante de integração que podemos incorporar depois no fator. Portanto podemos tomar
Comentário didático: o fator integrante torna o lado esquerdo da EDO igual à derivada do produto
.
Passo 4
Multiplicamos a EDO na forma padrão por
. O lado esquerdo se torna a derivada do produto:
Agora substituímos
. Calculamos o produto à direita:
Observando que
, simplifica-se:
Então a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em
. À esquerda a integração elimina a derivada, e à direita calculamos a primitiva explicitamente:
onde
é a constante de integração geral. Para calcular
fazemos a substituição
, logo
e
. Assim
Como havia um sinal negativo, obtemos
Passo 6
Agora isolamos
dividindo por
:
Podemos escrever também o termo
expandido se preferir, mas a forma acima é clara e simples. A constante
é arbitrária real e representa a família geral de soluções.
Passo 7
Comentário final e incentivo: essa é a forma típica de resolver EDOs lineares de primeira ordem — transformar para
, achar
, multiplicar e integrar. Dá um pouco de trabalho algébrico, mas com prática vira automático. Você conseguiu — e fica aqui a solução geral prontinha para a prova!