Dê a solução geral da seguinte EDO:
\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+\left(x y+x^{3}+x\right)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx}+\left(xy+x^{3}+x\right)=0.
O que se pede: encontrar y(x) que satisfaça essa igualdade para x em um domínio onde tudo faz sentido (por exemplo todo x real, já que 1+x^{2}>0). Não há outras condições iniciais; queremos a família geral de soluções com constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão de primeira ordem, isolando \dfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por 1+x^{2} (que não é zero para nenhum x), obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{x}{1+x^{2}}\,y+\frac{x^{3}+x}{1+x^{2}}=0.
Para clareza, escrevemos em forma habitual \dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y=g(x). Aqui
p(x)=\frac{x}{1+x^{2}},\qquad g(x)=-\frac{x^{3}+x}{1+x^{2}}.
Explico: p(x) é o coeficiente que multiplica y depois de dividir pela função na frente de \dfrac{dy}{dx}; g(x) é o termo restante (lado direito), que aqui ficou negativo.

Passo 3

Usamos o método do fator integrante (um método padrão para EDOs lineares de 1ª ordem). O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Calculamos a integral de p(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}. Uma forma direta é observar que a derivada de 1+x^{2} é 2x, então
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C,
onde C seria uma constante de integração que podemos incorporar depois no fator. Portanto podemos tomar
\mu(x)=\exp\!\Big(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})\Big)=(1+x^{2})^{1/2}=\sqrt{1+x^{2}}.
Comentário didático: o fator integrante torna o lado esquerdo da EDO igual à derivada do produto \mu(x)y.

Passo 4

Multiplicamos a EDO na forma padrão por \mu(x)=\sqrt{1+x^{2}}. O lado esquerdo se torna a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{1+x^{2}}\,y\big)=\sqrt{1+x^{2}}\;g(x).
Agora substituímos g(x)=-\dfrac{x^{3}+x}{1+x^{2}}. Calculamos o produto à direita:
\sqrt{1+x^{2}}\;g(x)=-\sqrt{1+x^{2}}\cdot\frac{x^{3}+x}{1+x^{2}}.
Observando que x^{3}+x=x(1+x^{2}), simplifica-se:
\sqrt{1+x^{2}}\;g(x)=-\frac{x(1+x^{2})}{\sqrt{1+x^{2}}}=-x\sqrt{1+x^{2}}.
Então a equação fica
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{1+x^{2}}\,y\big)=-x\sqrt{1+x^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x. À esquerda a integração elimina a derivada, e à direita calculamos a primitiva explicitamente:
\sqrt{1+x^{2}}\,y=\int -x\sqrt{1+x^{2}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração geral. Para calcular \int x\sqrt{1+x^{2}}\,dx fazemos a substituição u=1+x^{2}, logo du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int x\sqrt{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{2}u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{3}u^{3/2}=\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}.
Como havia um sinal negativo, obtemos
\sqrt{1+x^{2}}\,y=-\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}+C.

Passo 6

Agora isolamos y dividindo por \sqrt{1+x^{2}}:
y=-\frac{1}{3}(1+x^{2})+\frac{C}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Podemos escrever também o termo -\dfrac{1}{3}(1+x^{2}) expandido se preferir, mas a forma acima é clara e simples. A constante C é arbitrária real e representa a família geral de soluções.

Passo 7

Comentário final e incentivo: essa é a forma típica de resolver EDOs lineares de primeira ordem — transformar para y'+p(x)y=g(x), achar \mu=\exp(\int p), multiplicar e integrar. Dá um pouco de trabalho algébrico, mas com prática vira automático. Você conseguiu — e fica aqui a solução geral prontinha para a prova!

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)+\dfrac{C}{\sqrt{1+x^{2}}}

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