Uma seguradora tem 5.000 segurados que tiveram apólices nos últimos 10 anos. Durante este período houve um total de 12.200 pedidos de cobertura. Assumindo uma distribuição de Poisson para o número de pedidos de cobertura, responda:
a. Qual o número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano?
b. Qual a probabilidade de um segurado solicitar cobertura menos de duas vezes no ano?
c. Se toda cobertura é para
1.000, qual é o gasto médio por segurado por ano?
a. Qual o número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano?
b. Qual a probabilidade de um segurado solicitar cobertura menos de duas vezes no ano?
c. Se toda cobertura é para
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
- Perguntas:
a. Qual o número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano?
b. Qual a probabilidade de um segurado solicitar cobertura menos de duas vezes no ano?
c. Se cada cobertura vale, qual é o gasto médio por segurado por ano?
Passo 2
Conceito essencial (Poisson) — explicação direta e amigável:
- Uma variável aleatória
com distribuição de Poisson com parâmetro (escrevemos Poisson ) modela o número de eventos em um intervalo de tempo quando os eventos acontecem de forma independente e com taxa média constante. - A função massa de probabilidade é
onde é a média (esperança) e também a variância: . - Aqui precisamos interpretar
como a média de pedidos por segurado em um ano (unidade: pedidos/segurado/ano). Vou mostrar como calcular a partir dos dados.
Passo 3
Cálculo de
(média por apólice por ano):
- Total de pedidos em 10 anos:
. - Número total de apólices-ano (cada segurado por cada ano) é
. - Logo a média por apólice por ano é
- Agora simplificamos:
.
Então(pedidos por segurado por ano).
Passo 4
Resposta da letra (a) com breve comentário:
- O número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano é
pedidos/ano.
(Interpretação: em média cada segurado solicita cerca depedidos por ano, ou seja, menos de um pedido por ano.)
Passo 5
Probabilidade de menos de duas solicitações no ano (letra b) — passo a passo usando Poisson:
- Queremos
para Poisson com . - Usando a fórmula da Poisson:
- Então
- Substituindo
: - Avaliando numericamente: primeiro
(aproximação usando a série/exponencial), então - Interpretação: a probabilidade de um segurado pedir cobertura menos de duas vezes em um ano é aproximadamente
, ou seja, cerca de .
Passo 6
Gasto médio por segurado por ano (letra c) — ideia e cálculo:
- Se cada pedido resulta num pagamento de
, o gasto esperado por segurado por ano é - Substituindo
: - Checagem rápida de consistência: por ano a seguradora espera
pedidos; a cada dá por ano no total; dividindo por segurados isso dá por segurado, consistente com o cálculo anterior.
Resposta
(a)
pedidos por apólice por ano.
(b) (aprox.
).
(c) Gasto médio por segurado por ano .
(b)
(c) Gasto médio por segurado por ano