Uma seguradora tem 5.000 segurados que tiveram apólices nos últimos 10 anos. Durante este período houve um total de 12.200 pedidos de cobertura. Assumindo uma distribuição de Poisson para o número de pedidos de cobertura, responda:
a. Qual o número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano?
b. Qual a probabilidade de um segurado solicitar cobertura menos de duas vezes no ano?
c. Se toda cobertura é para \mathrm{R} 1.000, qual é o gasto médio por segurado por ano?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
  • Dados fornecidos: \text{nº de segurados} = 5\,000,\qquad \text{período} = 10\\ \text{anos},\qquad \text{total de pedidos} = 12\,200.ºí
  • Perguntas:
    a. Qual o número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano?
    b. Qual a probabilidade de um segurado solicitar cobertura menos de duas vezes no ano?
    c. Se cada cobertura vale R\$1.000, qual é o gasto médio por segurado por ano?

Passo 2

Conceito essencial (Poisson) — explicação direta e amigável:
  • Uma variável aleatória X com distribuição de Poisson com parâmetro \lambda (escrevemos X\sim Poisson (\lambda)) modela o número de eventos em um intervalo de tempo quando os eventos acontecem de forma independente e com taxa média constante.
  • A função massa de probabilidade é P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dotsonde \lambda é a média (esperança) e também a variância: E[X]=\lambda.
  • Aqui precisamos interpretar \lambda como a média de pedidos por segurado em um ano (unidade: pedidos/segurado/ano). Vou mostrar como calcular \lambda a partir dos dados.

Passo 3

Cálculo de \lambda (média por apólice por ano):
  • Total de pedidos em 10 anos: 12\,200.
  • Número total de apólices-ano (cada segurado por cada ano) é 5\,000\times 10 = 50\,000.
  • Logo a média por apólice por ano é \lambda=\frac{12\,200}{5\,000\times 10}=\frac{12\,200}{50\,000}.
  • Agora simplificamos: \dfrac{12\,200}{50\,000}=\dfrac{122}{500}=0,244.
    Então \lambda=0,244 (pedidos por segurado por ano).

Passo 4

Resposta da letra (a) com breve comentário:
  • O número médio de pedidos de cobertura por apólice por ano é \lambda=0,244 pedidos/ano.
    (Interpretação: em média cada segurado solicita cerca de 0,244 pedidos por ano, ou seja, menos de um pedido por ano.)

Passo 5

Probabilidade de menos de duas solicitações no ano (letra b) — passo a passo usando Poisson:
  • Queremos P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) para X\sim Poisson (\lambda) com \lambda=0,244.
  • Usando a fórmula da Poisson: P(X=0)=\frac{\lambda^{0}e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda},
P(X=1)=\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\lambda e^{-\lambda}.
  • Então P(X<2)=e^{-\lambda}(1+\lambda).
  • Substituindo \lambda=0,244: P(X<2)=e^{-0,244}(1+0,244)=e^{-0,244}\times 1,244.
  • Avaliando numericamente: primeiro e^{-0,244}\approx 0,78348 (aproximação usando a série/exponencial), então P(X<2)\approx 0,78348\times 1,244\approx 0,97472.
  • Interpretação: a probabilidade de um segurado pedir cobertura menos de duas vezes em um ano é aproximadamente 0,9747, ou seja, cerca de 97{,}47\%.

Passo 6

Gasto médio por segurado por ano (letra c) — ideia e cálculo:
  • Se cada pedido resulta num pagamento de R\$1.000, o gasto esperado por segurado por ano é \text{gasto médio} = (\text{custo por pedido})\times E[X] = R\$1.000\times \lambda.é
  • Substituindo \lambda=0,244: \text{gasto médio} = R\$1.000\times 0,244 = R\$244.é
  • Checagem rápida de consistência: por ano a seguradora espera 12\,200/10=1\,220 pedidos; a R\$1.000 cada dá R\$1\,220\,000 por ano no total; dividindo por 5\,000 segurados isso dá R\$244 por segurado, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

(a) \lambda=0,244 pedidos por apólice por ano.
(b) P(X<2)=e^{-0,244}(1+0,244)\approx 0,97472 (aprox. 97{,}47\%).
(c) Gasto médio por segurado por ano =R\$244.

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