Achar as fórmulas para
e
da distribuição discreta uniforme:
,
.
Dica: Note que
e
.
Dica: Note que
Passo 1
O que o enunciado pede: achar as fórmulas de
e
para uma variável aleatória discreta com distribuição uniforme em
, isto é, com massa de probabilidade
para
Informações dadas (dica) que vamos usar:
Informações dadas (dica) que vamos usar:
Nada mais será assumido implicitamente; vamos usar somente a definição de esperança e variância e as somas acima.
Passo 2
Definição de esperança para variável discreta e aplicação ao caso: por definição,
Aqui a soma percorre
até
e
. Portanto
Agora uso a fórmula da dica para
.
Passo 3
Substituindo a soma e simplificando:
Interpretação rápida (para fixar): a média dos inteiros de
a
é o ponto médio
— faz sentido intuitivo e confirma o cálculo.
Passo 4
Precisamos agora de
para obter a variância. Pela definição,
Usamos a fórmula da dica para
.
Passo 5
Substituindo a soma de quadrados e simplificando:
Passo 6
Definição e cálculo da variância: a variância é
Substituindo os valores que encontramos,
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro põe tudo sobre um denominador comum
:
Subtraindo:
Passo 7
Fatorando
no numerador e simplificando:
Multiplicando dá a forma mais compacta
Chegamos assim às fórmulas finais. Se quiser conferir com um exemplo numérico rápido: para
temos
e
, que bate com o cálculo direto dos valores
.