Achar as fórmulas para \mathrm{E}(\mathrm{X}) e \mathrm{V}(\mathrm{X}) da distribuição discreta uniforme: \mathrm{p}(x)=1 / n, x=1,2, \ldots, n.
Dica: Note que 1+2+3+\ldots+n=n(n+1) / 2 e 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=n(n+1)(2 n+1) / 6.

Passo 1

O que o enunciado pede: achar as fórmulas de \mathrm{E}(X) e \mathrm{V}(X) para uma variável aleatória discreta com distribuição uniforme em \{1,2,\ldots,n\}, isto é, com massa de probabilidade
\;p(x)=\dfrac{1}{n}\; para \;x=1,2,\ldots,n\;.
Informações dadas (dica) que vamos usar:
1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Nada mais será assumido implicitamente; vamos usar somente a definição de esperança e variância e as somas acima.

Passo 2

Definição de esperança para variável discreta e aplicação ao caso: por definição,
\mathrm{E}(X)=\sum_{x} x\,p(x).
Aqui a soma percorre x=1 até x=n e p(x)=\dfrac{1}{n}. Portanto
\mathrm{E}(X)=\sum_{k=1}^{n} k\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k.
Agora uso a fórmula da dica para \sum_{k=1}^{n}k.

Passo 3

Substituindo a soma e simplificando:
\mathrm{E}(X)=\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2}.
Interpretação rápida (para fixar): a média dos inteiros de 1 a n é o ponto médio \dfrac{1+n}{2} — faz sentido intuitivo e confirma o cálculo.

Passo 4

Precisamos agora de \mathrm{E}(X^{2}) para obter a variância. Pela definição,
\mathrm{E}(X^{2})=\sum_{x} x^{2} p(x)=\sum_{k=1}^{n} k^{2}\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k^{2}.
Usamos a fórmula da dica para \sum_{k=1}^{n}k^{2}.

Passo 5

Substituindo a soma de quadrados e simplificando:
\mathrm{E}(X^{2})=\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 6

Definição e cálculo da variância: a variância é
\mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-[\mathrm{E}(X)]^{2}.
Substituindo os valores que encontramos,
\mathrm{V}(X)=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{2}.
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro põe tudo sobre um denominador comum 12:
\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(4n+2)}{12}, \qquad \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{2}=\dfrac{(n+1)^{2}}{4}=\dfrac{3(n+1)^{2}}{12}.
Subtraindo:
\mathrm{V}(X)=\dfrac{(n+1)(4n+2)-3(n+1)^{2}}{12}.

Passo 7

Fatorando (n+1) no numerador e simplificando:
\mathrm{V}(X)=\dfrac{(n+1)\bigl(4n+2-3(n+1)\bigr)}{12}=\dfrac{(n+1)\bigl(4n+2-3n-3\bigr)}{12} =\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}.
Multiplicando dá a forma mais compacta
\mathrm{V}(X)=\dfrac{n^{2}-1}{12}.
Chegamos assim às fórmulas finais. Se quiser conferir com um exemplo numérico rápido: para n=6 temos \mathrm{E}(X)=\dfrac{7}{2}=3{,}5 e \mathrm{V}(X)=\dfrac{36-1}{12}=\dfrac{35}{12}\approx 2{,}9167, que bate com o cálculo direto dos valores 1,\dots,6.

Resposta

\mathrm{E}(X)=\dfrac{n+1}{2}
\mathrm{V}(X)=\dfrac{n^{2}-1}{12}

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