Uma solução de A é misturada com o mesmo volume de uma solução de B de mesma concentração e ocorre a reação elementar:
Ao fim de
de A tinha reagido. Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2 h de reação, e o tempo de meia-vida da espécie A , se a reação é de:
(a) Primeira ordem em relação a A e de ordem zero em relação a B
(a) Primeira ordem em relação a A e de ordem zero em relação a B
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar ponto a ponto, bem claro):
- Reação elementar:
. - Foi misturada uma solução de A com o mesmo volume de uma solução de B e ambas tinham a mesma concentração antes da mistura.
- Depois da mistura, ao fim de
, de A tinha reagido (ou seja, restou de A). - A pergunta pede:
- A quantidade de A que permanece sem reagir ao final de
de reação. - O tempo de meia-vida da espécie A.
- A quantidade de A que permanece sem reagir ao final de
- Informação adicional dada pela parte (a): a velocidade é de primeira ordem em relação a A e de ordem zero em relação a B (ou seja, taxa proporcional a
e independente de ).
Passo 2
Entendendo as concentrações iniciais depois da mistura (isso importa para interpretar o que é “quantidade de A”):
- Antes da mistura as duas soluções tinham a mesma concentração; ao misturar volumes iguais, cada espécie sofre diluição por 2. Então a concentração inicial de A imediatamente após a mistura vou chamar de
(é metade da concentração que A tinha antes da mistura). Não preciso do valor numérico de ; vou trabalhar em frações relativas a . - Imediatamente após a mistura também vale
. - Observação útil: como a ordem em B é zero, a expressão da taxa não contém
; portanto a variação temporal de é determinada apenas por e pela constante de velocidade .
Passo 3
Escrevendo a lei de velocidade e explicando as variáveis:
- Como a reação é elementar e é de primeira ordem em A e zero em B, a lei de velocidade é
onde:
-
é a constante de velocidade (unidade: porque tempo está em horas), -
é a concentração de A no instante . - A variação da concentração de A é negativa (A é consumida), então escrevemos a equação diferencial:
Passo 4
Resolver a equação diferencial (passo-a-passo, método usado na prova):
- Reescrevendo para separar variáveis:
- Integro ambos os lados desde
(quando ) até tempo (quando ):
- As integrais dão:
- Isolando
obtemos a lei integrada da primeira ordem:
Explicação didática: essa fórmula diz que a concentração de A decai exponencialmente com tempo; o parâmetro
controla a rapidez desse decaimento.
Passo 5
Determinar a constante
usando o dado experimental em
:
- Pelo enunciado, ao fim de
de A reagiu, logo permaneceu . Em termos matemáticos:
- Pela lei integrada:
- Igualando as duas expressões e simplificando por
:
- Tomando logaritmo natural:
- Usando
, fica
- Valor numérico (aproximação útil na prova):
Breve comentário para dar ânimo: perceber que
facilita muito achar
, é um padrão que costuma aparecer em problemas de química física.
Passo 6
Calcular a quantidade de A que permanece ao final de
:
- Use a lei integrada com
:
- Substituindo
:
- Cálculo simples:
- Portanto
Interpretação: ao fim de
resta
da quantidade inicial de A (inicial aqui significa imediatamente após a mistura, ou seja,
).
Passo 7
Calcular o tempo de meia-vida
da espécie A (explicando a fórmula e o raciocínio):
- Para reações de primeira ordem a meia-vida é independente de
e vem da condição . Usando a lei integrada:
- Tomando ln:
- Substituindo
:
- Usando
, obtemos
- Intuição rápida: se em
restou , então ocorreram duas meias-vidas em , logo cada meia-vida é .