Uma solução de A é misturada com o mesmo volume de uma solução de B de mesma concentração e ocorre a reação elementar:
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}
Ao fim de 1 \mathrm{~h}, 75 \% de A tinha reagido. Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2 h de reação, e o tempo de meia-vida da espécie A , se a reação é de:
(a) Primeira ordem em relação a A e de ordem zero em relação a B

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar ponto a ponto, bem claro):
  • Reação elementar: \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow\mathrm{C}.
  • Foi misturada uma solução de A com o mesmo volume de uma solução de B e ambas tinham a mesma concentração antes da mistura.
  • Depois da mistura, ao fim de 1\\ \mathrm{h}, 75\% de A tinha reagido (ou seja, restou 25\% de A).
  • A pergunta pede:
    1. A quantidade de A que permanece sem reagir ao final de 2\\ \mathrm{h} de reação.
    2. O tempo de meia-vida da espécie A.
  • Informação adicional dada pela parte (a): a velocidade é de primeira ordem em relação a A e de ordem zero em relação a B (ou seja, taxa proporcional a [A]^1 e independente de [B]).

Passo 2

Entendendo as concentrações iniciais depois da mistura (isso importa para interpretar o que é “quantidade de A”):
  • Antes da mistura as duas soluções tinham a mesma concentração; ao misturar volumes iguais, cada espécie sofre diluição por 2. Então a concentração inicial de A imediatamente após a mistura vou chamar de [A]_0 (é metade da concentração que A tinha antes da mistura). Não preciso do valor numérico de [A]_0; vou trabalhar em frações relativas a [A]_0.
  • Imediatamente após a mistura também vale [B]_0 = [A]_0.
  • Observação útil: como a ordem em B é zero, a expressão da taxa não contém [B]; portanto a variação temporal de [A] é determinada apenas por [A] e pela constante de velocidade k.

Passo 3

Escrevendo a lei de velocidade e explicando as variáveis:
  • Como a reação é elementar e é de primeira ordem em A e zero em B, a lei de velocidade é
\text{velocidade} = k\,[A]^1\,[B]^0 = k\,[A],
onde:
  • k é a constante de velocidade (unidade: \mathrm{h}^{-1} porque tempo está em horas),
  • [A] é a concentração de A no instante t.
  • A variação da concentração de A é negativa (A é consumida), então escrevemos a equação diferencial:
-\dfrac{d[A]}{dt} = k\,[A].

Passo 4

Resolver a equação diferencial (passo-a-passo, método usado na prova):
  • Reescrevendo para separar variáveis:
\dfrac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
  • Integro ambos os lados desde t=0 (quando [A]=[A]_0) até tempo t (quando [A]=[A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \dfrac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
  • As integrais dão:
\ln\!\left(\dfrac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k\,t.
  • Isolando [A](t) obtemos a lei integrada da primeira ordem:
[A](t) = [A]_0\,e^{-k t}.
Explicação didática: essa fórmula diz que a concentração de A decai exponencialmente com tempo; o parâmetro k controla a rapidez desse decaimento.

Passo 5

Determinar a constante k usando o dado experimental em t=1\\ \mathrm{h}:
  • Pelo enunciado, ao fim de 1\\ \mathrm{h} 75\% de A reagiu, logo permaneceu 25\%. Em termos matemáticos:
[A](1) = 0{,}25\,[A]_0.
  • Pela lei integrada:
[A](1) = [A]_0\,e^{-k\cdot 1} = [A]_0\,e^{-k}.
  • Igualando as duas expressões e simplificando por [A]_0:
e^{-k} = 0{,}25.
  • Tomando logaritmo natural:
-k = \ln(0{,}25) \quad\Rightarrow\quad k = -\ln(0{,}25).
  • Usando \ln(0{,}25)=\ln(1/4)=-\ln 4, fica
k = \ln 4.
  • Valor numérico (aproximação útil na prova):
k \approx 1{,}386294\\ \mathrm{h}^{-1}.
Breve comentário para dar ânimo: perceber que 0{,}25=4^{-1} facilita muito achar k=\ln 4, é um padrão que costuma aparecer em problemas de química física.

Passo 6

Calcular a quantidade de A que permanece ao final de 2\\ \mathrm{h}:
  • Use a lei integrada com t=2:
[A](2) = [A]_0\,e^{-k\cdot 2}.
  • Substituindo k=\ln 4:
[A](2) = [A]_0\,e^{-2\ln 4} = [A]_0\,\left(e^{\ln 4}\right)^{-2} = [A]_0\,4^{-2}.
  • Cálculo simples:
4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625.
  • Portanto
[A](2) = \dfrac{[A]_0}{16} = 0{,}0625\,[A]_0.
Interpretação: ao fim de 2\\ \mathrm{h} resta 6{,}25\% da quantidade inicial de A (inicial aqui significa imediatamente após a mistura, ou seja, [A]_0).

Passo 7

Calcular o tempo de meia-vida t_{1/2} da espécie A (explicando a fórmula e o raciocínio):
  • Para reações de primeira ordem a meia-vida é independente de [A]_0 e vem da condição [A](t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}[A]_0. Usando a lei integrada:
\tfrac{1}{2}[A]_0 = [A]_0\,e^{-k t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad e^{-k t_{1/2}} = \tfrac{1}{2}.
  • Tomando ln:
-k t_{1/2} = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 \quad\Rightarrow\quad t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}.
  • Substituindo k=\ln 4:
t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\ln 4}.
  • Usando \ln 4 = \ln(2^2)=2\ln 2, obtemos
t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{2\ln 2} = \dfrac{1}{2}\\ \mathrm{h}.
  • Intuição rápida: se em 1\\ \mathrm{h} restou 25\%=(1/2)^2, então ocorreram duas meias-vidas em 1\\ \mathrm{h}, logo cada meia-vida é 0{,}5\\ \mathrm{h}.

Resposta

[A](2)=\dfrac{[A]_0}{16}=0{,}0625\,[A]_0 (ou seja, 6{,}25\% de [A]_0 permanece)\n
t_{1/2}=0{,}5\\ \mathrm{h}

Exercícios relacionados