Uma solução de A é misturada com o mesmo volume de uma solução de B de mesma concentração e ocorre a reação elementar:
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}
Ao fim de 1 \mathrm{~h}, 75 \% de A tinha reagido. Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2 h de reação, e o tempo de meia-vida da espécie A , se a reação é de:
(b) Primeira ordem em relação a A e B

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou usar notação clara para não se perder):
  • Duas soluções, uma contendo A e outra contendo B, têm a mesma concentração inicial e são misturadas em volumes iguais. Vou chamar a concentração de A imediatamente após a mistura de [A]_0. (Observação: por causa da mistura em volumes iguais, a concentração após a mistura é metade da concentração que cada solução tinha antes de misturar — mas não precisamos do valor numérico disso, só definimos [A]_0.)
  • A reação é estequiométrica 1:1: \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow\mathrm{C}.
  • A cinética é de primeira ordem em relação a A e primeira ordem em relação a B, ou seja a lei da velocidade é \;v = k\,[\mathrm{A}][\mathrm{B}].
  • Foi observado que, ao fim de 1\\ \mathrm{h}, 75\% de A tinha reagido. Isto significa que em t=1\\ \mathrm{h} resta 25\% de [A]_0: [A](1\\ \mathrm{h}) = 0{,}25\,[A]_0.
O enunciado pede:
  • Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2\\ \mathrm{h} de reação.
  • Calcular o tempo de meia-vida da espécie A (tempo para [A] cair a metade de [A]_0).

Passo 2

Entender como a lei de velocidade se simplifica aqui.
  • Como as soluções foram misturadas com volumes iguais e tinham a mesma concentração inicial, em todos os instantes da reação vale [\mathrm{A}](t) = [\mathrm{B}](t). Isso porque a estequiometria é 1:1 e as concentrações iniciais (após mistura) são iguais.
  • Logo a velocidade fica:
v = -\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = k\,[\mathrm{A}]\,[\mathrm{B}] = k\,[\mathrm{A}]^2.
Explicando cada símbolo:
  • [\mathrm{A}] é a concentração de A no tempo t.
  • k é a constante de velocidade da reação.
  • O sinal negativo indica que [\mathrm{A}] diminui com o tempo.
Portanto, a equação diferencial que descreve a variação de [\mathrm{A}] é
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -k\,[\mathrm{A}]^2.

Passo 3

Integrar a equação diferencial para obter a expressão de [\mathrm{A}](t).
  • Separamos variáveis:
\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]^2} = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados desde t=0 (concentração [A]_0) até tempo t (concentração [A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]^2} = -k \int_{0}^{t} dt.
  • A integral à esquerda é \left[-\dfrac{1}{[\mathrm{A}]}\right]_{[A]_0}^{[A](t)} = -\dfrac{1}{[A](t)} + \dfrac{1}{[A]_0}. A integral à direita é -k t.
  • Igualando:
-\frac{1}{[A](t)} + \frac{1}{[A]_0} = -k t.
  • Rearranjando obtemos a forma integrada usual:
\frac{1}{[A](t)} - \frac{1}{[A]_0} = k t.
  • Isolando [A](t) dá-se outra forma prática:
[A](t) = \frac{[A]_0}{1 + k\,[A]_0\,t}.
Esta é a expressão que usaremos. Observação: esta é a lei integrada para o caso \mathrm{rate}=k[\mathrm{A}]^2 (que é o caso aqui porque [\mathrm{A}]=[\mathrm{B}]), muito útil em provas.

Passo 4

Determinar k usando a informação de que em t=1\\ \mathrm{h} restou 25\% de [A]_0.
  • Usando [A](1) = 0{,}25\,[A]_0 na fórmula integrada:
\frac{1}{[A](1)} - \frac{1}{[A]_0} = k\cdot 1\\ \mathrm{h}.
  • Substituindo [A](1) = 0{,}25\,[A]_0:
\frac{1}{0{,}25\,[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k.
  • Calcular o lado esquerdo:
\frac{1}{0{,}25\,[A]_0} = \frac{1}{\tfrac{1}{4}[A]_0} = \frac{4}{[A]_0}.
Logo
k = \frac{4}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = \frac{3}{[A]_0}.
  • Nota importante: k depende de [A]_0 isoladamente aqui (unidades compatíveis), mas frequentemente em problemas de prova a razão k\,[A]_0 é o que aparece, e podemos calcular essa razão sem saber [A]_0 numérico. De fato,
k\,[A]_0 = 3\\ (\text{em unidades de } \mathrm{h}^{-1}).

Passo 5

Calcular [A] ao final de 2\\ \mathrm{h}.
  • Usamos a fórmula
[A](t) = \frac{[A]_0}{1 + k\,[A]_0\,t}.
  • Como encontramos k\,[A]_0 = 3, substituímos t=2\\ \mathrm{h}:
[A](2\\ \mathrm{h}) = \frac{[A]_0}{1 + 3\cdot 2} = \frac{[A]_0}{1 + 6} = \frac{[A]_0}{7}.
  • Em termos de fração do inicial: [A](2\\ \mathrm{h}) = \dfrac{1}{7}[A]_0.
  • Em percentual: \dfrac{1}{7}\approx 0{,}142857, ou seja aproximadamente 14{,}286\% de [A]_0 permanece.

Passo 6

Calcular o tempo de meia-vida t_{1/2} para este caso.
  • Definição: meia-vida é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \dfrac{1}{2}[A]_0.
  • Usando a forma integrada:
\frac{1}{[A](t_{1/2})} - \frac{1}{[A]_0} = k\,t_{1/2}.
  • Substituindo [A](t_{1/2}) = \dfrac{1}{2}[A]_0:
\frac{1}{\tfrac{1}{2}[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = k\,t_{1/2}.
  • Isso dá:
\frac{2}{[A]_0} - \frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{[A]_0} = k\,t_{1/2}.
  • Portanto
t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}.
  • Já sabemos k\,[A]_0 = 3, então
t_{1/2} = \frac{1}{3}\\ \mathrm{h} \approx 0{,}3333\\ \mathrm{h}.
  • Convertendo para minutos: 0{,}3333\\ \mathrm{h}\times 60\\ \mathrm{min/h} = 20\\ \mathrm{min}.

Resposta

[A](2\\ \mathrm{h}) = \dfrac{[A]_0}{7} \approx 14{,}286\%\\ \text{de }[A]_0\n
t_{1/2} = \dfrac{1}{3}\\ \mathrm{h} = 20\\ \mathrm{min}

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