Uma solução de A é misturada com o mesmo volume de uma solução de B de mesma concentração e ocorre a reação elementar:
Ao fim de
de A tinha reagido. Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2 h de reação, e o tempo de meia-vida da espécie A , se a reação é de:
(b) Primeira ordem em relação a A e B
(b) Primeira ordem em relação a A e B
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou usar notação clara para não se perder):
- Duas soluções, uma contendo A e outra contendo B, têm a mesma concentração inicial e são misturadas em volumes iguais. Vou chamar a concentração de A imediatamente após a mistura de
. (Observação: por causa da mistura em volumes iguais, a concentração após a mistura é metade da concentração que cada solução tinha antes de misturar — mas não precisamos do valor numérico disso, só definimos .) - A reação é estequiométrica 1:1:
. - A cinética é de primeira ordem em relação a A e primeira ordem em relação a B, ou seja a lei da velocidade é
. - Foi observado que, ao fim de
, de A tinha reagido. Isto significa que em resta de : .
O enunciado pede:
- Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de
de reação. - Calcular o tempo de meia-vida da espécie A (tempo para
cair a metade de ).
Passo 2
Entender como a lei de velocidade se simplifica aqui.
- Como as soluções foram misturadas com volumes iguais e tinham a mesma concentração inicial, em todos os instantes da reação vale
. Isso porque a estequiometria é 1:1 e as concentrações iniciais (após mistura) são iguais. - Logo a velocidade fica:
Explicando cada símbolo:
-
é a concentração de A no tempo . -
é a constante de velocidade da reação. - O sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Portanto, a equação diferencial que descreve a variação de
é
Passo 3
Integrar a equação diferencial para obter a expressão de
.
- Separamos variáveis:
- Integramos ambos os lados desde
(concentração ) até tempo (concentração ):
- A integral à esquerda é
. A integral à direita é . - Igualando:
- Rearranjando obtemos a forma integrada usual:
- Isolando
dá-se outra forma prática:
Esta é a expressão que usaremos. Observação: esta é a lei integrada para o caso
(que é o caso aqui porque
), muito útil em provas.
Passo 4
Determinar
usando a informação de que em
restou
de
.
- Usando
na fórmula integrada:
- Substituindo
:
- Calcular o lado esquerdo:
Logo
- Nota importante:
depende de isoladamente aqui (unidades compatíveis), mas frequentemente em problemas de prova a razão é o que aparece, e podemos calcular essa razão sem saber numérico. De fato,
Passo 5
Calcular
ao final de
.
- Usamos a fórmula
- Como encontramos
, substituímos :
- Em termos de fração do inicial:
. - Em percentual:
, ou seja aproximadamente de permanece.
Passo 6
Calcular o tempo de meia-vida
para este caso.
- Definição: meia-vida é o tempo em que
. - Usando a forma integrada:
- Substituindo
:
- Isso dá:
- Portanto
- Já sabemos
, então
- Convertendo para minutos:
.