Uma solução 1,5 molar de estireno em THF é polimerizada a 25^{\circ} \mathrm{C} por sódio naftaleno a uma concentração de 3,2 \times 10^{-5} \mathrm{M}. Calcule o grau de polimerização e a velocidade de polimerização ( \mathrm{kp}=550 litros/mol-seg).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (retirei exatamente do enunciado):
  • Concentração inicial de monômero (estireno): [M]_0 = 1,5\\ \mathrm{M}.
  • Concentração do iniciador (sódio naftaleno): [I]_0 = 3,2\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
  • Constante de velocidade de propagação: k_p = 550\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (não será necessária para os cálculos com os dados fornecidos).
O enunciado pede:
  1. Calcular o grau de polimerização médio (número médio de unidades monoméricas por cadeia).
  2. Calcular a velocidade de polimerização (velocidade de consumo do monômero), R_p.

Passo 2

Entendendo a fórmula para o grau de polimerização e as hipóteses que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • Em polimerização aniônica “viva” (como com sódio naftaleno) assume-se que cada iniciador gera uma cadeia ativa e que praticamente não há terminação nem transferência. Nesse caso o número médio de unidades por cadeia (grau de polimerização médio, \bar{X}_n) é simplesmente a razão entre a concentração inicial de monômero e a concentração inicial de iniciador:
\bar{X}_n = \frac{[M]_0}{[I]_0}.
  • O que cada símbolo significa:
    • [M]_0: concentração inicial de monômero (mol por litro).
    • [I]_0: concentração inicial de iniciador (mol por litro).
    • \bar{X}_n: grau de polimerização médio (número adimensional — unidades monoméricas por cadeia).
  • Hipóteses implícitas: iniciação quantitativa (cada íon iniciador gera um sítio ativo), ausência relevante de terminação/transferência durante o processo (polimerização “viva”). Essas hipóteses são típicas quando o problema dá diretamente a concentração de iniciador e pede \bar{X}_n.

Passo 3

Cálculo do grau de polimerização usando a fórmula e os números dados.
  • Primeiro escrevo a fórmula:
\bar{X}_n = \frac{[M]_0}{[I]_0}.
  • Substituindo os valores fornecidos:
\bar{X}_n = \frac{1,5}{3,2\times10^{-5}}.
  • Converto para número decimal para facilitar a divisão:
3,2\times10^{-5}=0,000032.
  • Faço a divisão:
\bar{X}_n = \frac{1,5}{0,000032}=46875.
  • Interpretação rápida: em média cada cadeia terá 46875 unidades de estireno se as hipóteses de polimerização “viva” aplicarem.

Passo 4

Entendendo a fórmula para a velocidade de polimerização (aula curta).
  • A velocidade instantânea de consumo de monômero por propagação é dada por:
R_p = k_p\,[M]\,[P^*],
onde:
  • R_p é a velocidade de polimerização em \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}} (quanto de monômero é consumido por litro por segundo).
  • k_p é a constante de velocidade de propagação com unidades \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.
  • [M] é a concentração de monômero no instante considerado ( \mathrm{mol\,L^{-1}}). Aqui o enunciado nos dá a concentração inicial e não pede evolução no tempo, então usaremos [M]=[M]_0.
  • [P^*] é a concentração de centros ativos (cadeias iniciadas que estão propagando). Para uma polimerização aniônica “viva” com iniciação quantitativa, [P^*]\approx[I]_0.
  • Observação sobre unidades: multiplicando \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}\times\mathrm{mol\,L^{-1}}\times\mathrm{mol\,L^{-1}} resta \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}, que é a unidade correta para R_p.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade de polimerização usando os valores fornecidos.
  • Escrevo a expressão com os números:
R_p = 550 \times 1,5 \times 3,2\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.
  • Primeiro calcule 550\times1,5:
550\times1,5=825.
  • Agora multiplico por 3,2\times10^{-5}. Converto 3,2\times10^{-5}=0,000032 para ver claramente:
825\times0,000032=0,0264.
  • Em notação científica:
R_p = 2,64\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.
  • Portanto a velocidade de polimerização no início (com as condições dadas) é 0,0264\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.

Passo 6

Comentário final, interpretação e incentivo.
  • Resultado prático: o grau médio de polimerização é muito grande ( \bar{X}_n=46875), o que significa cadeias longas — isso é típico quando a razão monômero/iniciador é alta.
  • A velocidade de polimerização é relativamente alta: 0,0264\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}} indica que em um segundo consome-se, em média, cerca de 0,0264 mol de monômero por litro nas condições iniciais.
  • Observação sobre hipóteses: se houvesse terminação significativa ou iniciação incompleta, \bar{X}_n seria menor e [P^*] poderia ser diferente de [I]_0. O enunciado não dá mais detalhes, então a abordagem usada (padrão para polimerização “viva” aniônica) é a indicada.
  • Força! Você já sabe como aplicar as fórmulas: relação simples para \bar{X}_n e a expressão de R_p. Dá pra resolver esse tipo de questão rapidinho na prova.

Resposta

\bar{X}_n = 46875
R_p = 0,0264\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}

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