(1,0) Calcule a variação de entropia associada com a compressão isotérmica reversível de 0,720 \mathrm{~mol} de átomos de um gás ideal de 24,32 \mathrm{~L} até 3,90 \mathrm{~L}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação de entropia associada com uma compressão isotérmica reversível. As informações fornecidas são:
  • quantidade de substância: n=0{,}720\\ \mathrm{mol} (peguei do enunciado);
  • volume inicial: V_i=24{,}32\\ \mathrm{L} (peguei do enunciado);
  • volume final: V_f=3{,}90\\ \mathrm{L} (peguei do enunciado);
  • o processo é isotérmico e reversível.
    A grande pergunta é: qual é \Delta S, a variação de entropia associada a esse processo?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras).
  • Entropia S é uma função de estado; sua variação em um processo reversível é dada por
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para um processo isotérmico a temperatura T é constante, portanto
\Delta S=\frac{Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para um gás ideal em processo isotérmico reversível, o trabalho realizado pelo gás ao passar de V_i para V_f é
W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
pois em cada passo reversível P=\dfrac{nRT}{V}.
  • Pela primeira lei (e usando a convenção \Delta U=Q-W, com W trabalho feito pelo sistema), para um gás ideal em processo isotérmico temos \Delta U=0, logo Q_{\text{rev}}=W_{\text{rev}}.
  • Substituindo em \Delta S=Q_{\text{rev}}/T obtemos a fórmula prática e muito usada:
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Explicando as variáveis:
  • n é o número de mols (aqui 0{,}720\\ \mathrm{mol});
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\;K)};
  • V_i e V_f são volumes inicial e final (qualquer unidade de volume serve, pois só aparece a razão V_f/V_i).

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado. Primeiro calculo a razão dos volumes (posso usar litros diretamente porque a razão é adimensional):
\frac{V_f}{V_i}=\frac{3{,}90}{24{,}32}\approx 0{,}16037.
Agora calculo o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(0{,}16037)\approx -1{,}8315.

Passo 4

Calculo nR e multiplico pelo logaritmo para obter \Delta S.
nR=(0{,}720)\times(8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\;K)})\approx 5{,}9864\\ \mathrm{J/K}.
Agora
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\approx 5{,}9864\times(-1{,}8315)\\ \mathrm{J/K}\approx -10{,}96\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação rápida: \Delta S é negativo porque o gás foi comprimido (volume diminuiu), ou seja, há menos microestados disponíveis — entropia do sistema diminui.

Resposta

-11{,}0\\ \mathrm{J/K}

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