Uma soluçāo preparada mediante a adição de hipoclorito de sódlo sólido ( NaClO ) em agua para tazer uma soluçāo com pH de 10,50 . Considerando Kb igual a 3,3 \times 10^{-7}, determine a concentraçăo de hipoclorito inicial.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Foi preparada uma solução adicionando-se hipoclorito de sódio sólido ( \mathrm{NaClO}) em água, de modo que a solução resultante tem \mathrm{pH}=10,50.
  • A constante de basicidade do ânion hipoclorito é \,K_b=3,3\times10^{-7}.
  • Pergunta: determinar a concentração inicial de hipoclorito na solução (isto é, a molaridade inicial de \mathrm{ClO^-}, que vou chamar de c).

Passo 2

Converter \mathrm{pH} em \mathrm{pOH} e encontrar a concentração de [\mathrm{OH^-}].
  • Sabendo que \mathrm{pH}+\mathrm{pOH}=14, temos
\mathrm{pOH}=14-\mathrm{pH}=14-10,50=3,50.
  • A concentração de íons hidróxido é
[\mathrm{OH^-}]=10^{-\mathrm{pOH}}=10^{-3,50}.
Vamos calcular numericamente 10^{-3,50}. Uma forma prática é usar 10^{-3,50}=10^{-3}\cdot10^{-0,5}=10^{-3}/\sqrt{10}. Como \sqrt{10}\approx3,1623, resulta
[\mathrm{OH^-}]\approx \frac{10^{-3}}{3,1623}=3,1623\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Para facilitar a conta, guardamos esse valor como x:
x=[\mathrm{OH^-}]=3,1623\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 3

Escrever a reação de hidrólise do \mathrm{ClO^-} e a expressão de K_b, explicando o que cada termo significa.
  • Reação:
\mathrm{ClO^-}+\mathrm{H_2O}\rightleftharpoons \mathrm{HClO}+\mathrm{OH^-}.
  • Definição de K_b:
K_b=\frac{[\mathrm{HClO}]\,[\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{ClO^-}]}.
Aqui:
  • [\mathrm{ClO^-}] é a concentração do ácido conjugado base (hipoclorito) no equilíbrio;
  • [\mathrm{HClO}] é a concentração do ácido hipocloroso formado;
  • [\mathrm{OH^-}] é a concentração de hidróxidos no equilíbrio.
    Se c é a concentração inicial de \mathrm{ClO^-} (antes da dissociação) e se chamarmos x a concentração de [\mathrm{OH^-}] produzida pela dissociação, então no equilíbrio
[\mathrm{HClO}]=x,\qquad [\mathrm{OH^-}]=x,\qquad [\mathrm{ClO^-}]=c-x.

Passo 4

Substituir na expressão de K_b e isolar c.
Substituindo [\mathrm{HClO}]=x, [\mathrm{OH^-}]=x e [\mathrm{ClO^-}]=c-x em
K_b=\frac{[\mathrm{HClO}]\,[\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{ClO^-}]},
obtemos
K_b=\frac{x\cdot x}{c-x}=\frac{x^2}{c-x}.
Agora isolar c:
c-x=\frac{x^2}{K_b}\quad\Rightarrow\quad c=x+\frac{x^2}{K_b}.
Essa fórmula dá a concentração inicial c em função de x=[\mathrm{OH^-}] (que conhecemos pela \mathrm{pH}) e de K_b.

Passo 5

Substituir os valores numéricos em \;c=x+\dfrac{x^2}{K_b}.
  • Temos x=3,1623\times10^{-4} e K_b=3,3\times10^{-7}.
  • Calcular x^2:
x^2=(3,1623\times10^{-4})^2=10^{-7}.
(Observação: isso vem do fato que 3,1623\times10^{-4}=10^{-3,5}, então (10^{-3,5})^2=10^{-7}.)
  • Agora calcular \dfrac{x^2}{K_b}:
\frac{x^2}{K_b}=\frac{10^{-7}}{3,3\times10^{-7}}=\frac{1}{3,3}\approx0,30303\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Somar x ao termo acima para obter c.
c=x+\frac{x^2}{K_b}\approx 3,1623\times10^{-4}+0,30303\approx 0,30334\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Verificar a validade da aproximação e arredondar resultado.
  • A fração dissociada é \dfrac{x}{c}\approx\dfrac{3,16\times10^{-4}}{0,30334}\approx1,04\times10^{-3}, ou seja cerca de 0,10\%. Isso confirma que x\ll c e que a aproximação usual c\approx\dfrac{x^2}{K_b} teria dado praticamente o mesmo resultado.
  • Arredondando com precisão compatível com os dados (duas casas significativas em K_b), podemos reportar
c\approx0,303\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Resposta

0,303\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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