A 105^{\circ} \mathrm{C} uma reação apresenta os seguistes parâmetros de Arrhenius: \mathrm{A}=4,378 \mathrm{x} 10^{08} e \mathrm{Ea}=85 \mathrm{~kJ} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}. Determine a constante de velocidade para essa temperatura.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a constante de velocidade para a temperatura de 105^\circ\mathrm{C}, sabendo que a reação obedece à equação de Arrhenius com os parâmetros:
  • A = 4,378\times10^{8} (pré-exponencial; unidades presumivelmente \mathrm{s}^{-1}),
  • E_a = 85\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Dados relevantes que vamos usar:
  • Temperatura dada: 105^\circ\mathrm{C}.
  • Constante de Arrhenius e energia de ativação conforme acima.

Passo 2

A fórmula de Arrhenius que relaciona a constante de velocidade k com esses parâmetros é:
k = A \, e^{-E_a/(R T)}.
Explicando cada termo:
  • k é a constante de velocidade que queremos encontrar (unidade depende da ordem da reação; aqui assumimos \mathrm{s}^{-1}).
  • A é o fator pré-exponencial (frequência de colisões eficazes).
  • E_a é a energia de ativação, em joules por mol ( \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}).
  • R é a constante universal dos gases, R = 8,314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
    Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Converter unidades e valores para o sistema coerente:
  • Converter 105^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T = 105 + 273{,}15 = 378{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter E_a de \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1} para \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}:
E_a = 85\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = 85{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 4

Calcular o denominador da exponencial R T:
R T = 8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}\times 378{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora faço a multiplicação (mostrando os passos aritméticos):
8{,}314\times 378{,}15 = 8{,}314\times 378 + 8{,}314\times 0{,}15 = 3142{,}692 + 1{,}2471 = 3143{,}9391\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 5

Calcular o expoente -E_a/(R T):
\frac{E_a}{R T} = \frac{85{,}0\times10^{3}}{3143{,}9391}\approx 27{,}0679.
Portanto
-\frac{E_a}{R T}\approx -27{,}0679.
Calcular a exponencial:
e^{-27{,}0679}\approx 1{,}755\times10^{-12}.
(Procedimento: e^{-27{,}0679}=e^{-27}\,e^{-0{,}0679}; sabe-se que e^{-27}\approx1{,}8795\times10^{-12} e e^{-0{,}0679}\approx0{,}934, o produto dá o valor acima — aqui o objetivo é mostrar o raciocínio; o resultado numérico foi arredondado de forma consistente.)

Passo 6

Multiplicar pela pré-exponencial A para obter k:
k = A\,e^{-E_a/(R T)} = \left(4{,}378\times10^{8}\right)\times\left(1{,}755\times10^{-12}\right).
Fazendo a multiplicação:
k \approx 4{,}378\times1{,}755\times10^{8-12} = 7{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Expliquei as potências de dez: 10^{8}\cdot10^{-12}=10^{-4}. O produto numérico 4{,}378\times1{,}755\approx7{,}68.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
  • Valor final com duas ou três algarismos significativos apropriados: k\approx 7{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Isso significa que, na temperatura dada, a constante de velocidade é da ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}, indicando uma reação relativamente lenta nessa temperatura com os parâmetros fornecidos.
    Força aí — você já tem o procedimento completo para aplicar a qualquer outro par (A,E_a) e temperatura!

Resposta

k = 7{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}

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