Considere a reação \mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}, onde o consumo do reagente B segue uma cinética de segunda ordem. A 30^{\circ} \mathrm{C} a constante de velocidade para essa reação é 0,653 \mathrm{L} . \mathrm{mol}^{-1} . \mathrm{s}^{-1}. Se a concentração inicial de B foi de 6,50 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1}, determine:
(a) A concentração de B após 30 seg.
(b) A concentração de B após 30 min.
(c) A concentração de B após 1,5 hora.
(d) O tempo de meia vida para o reagente B.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
  • A reação é \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow\mathrm{C} e o consumo do reagente B segue cinética de segunda ordem (em relação a B).
  • Constante de velocidade: k=0,653\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Concentração inicial de B: [\mathrm{B}]_0=6,50\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
    As perguntas:
    (a) calcular [\mathrm{B}] após 30\\ \mathrm{s};
    (b) calcular [\mathrm{B}] após 30\\ \mathrm{min};
    (c) calcular [\mathrm{B}] após 1{,}5\\ \mathrm{h};
    (d) determinar o tempo de meia-vida (tempo para [\mathrm{B}] ficar metade de [\mathrm{B}]_0).

Passo 2

O que significa “cinética de segunda ordem (em relação a B)” e qual a equação que vamos usar.
  • “Segunda ordem em B” quer dizer que a taxa de consumo de B depende do quadrado de sua concentração. Em palavras simples: quanto mais B houver, mais rápido ela some, proporcional a [\mathrm{B}]^2.
  • Escrevemos a taxa como
-\frac{d[\mathrm{B}]}{dt}=k[\mathrm{B}]^2,
onde:
  • [\mathrm{B}] é a concentração instantânea de B (em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}),
  • t é o tempo (em \mathrm{s}),
  • k é a constante de velocidade com unidades \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1} (essas unidades tornam a equação dimensionalmente consistente).
Agora integramos essa equação diferencial para obter a expressão de [\mathrm{B}] em função do tempo. Separamos variáveis e integramos entre t=0 (quando [\mathrm{B}]=[\mathrm{B}]_0) e um tempo genérico t (quando [\mathrm{B}]=[\mathrm{B}]):
\int_{[\mathrm{B}]_0}^{[\mathrm{B}]}\frac{d[\mathrm{B}]}{[\mathrm{B}]^2}=-\int_{0}^{t}k\,dt.
O lado esquerdo integra para -\dfrac{1}{[\mathrm{B}]}+\dfrac{1}{[\mathrm{B}]_0} e o direito para -kt. Igualando e rearranjando obtém-se a forma integrada clássica da cinética de segunda ordem:
\frac{1}{[\mathrm{B}]}=\frac{1}{[\mathrm{B}]_0}+k t.
Dessa expressão isolamos [\mathrm{B}](t) como
[\mathrm{B}](t)=\frac{1}{\dfrac{1}{[\mathrm{B}]_0}+k t}.
Essa é a fórmula que usaremos para calcular [\mathrm{B}] em qualquer tempo t. Nota: é fundamental usar t em segundos porque k está em \mathrm{s}^{-1} quando multiplicado por [\mathrm{B}].

Passo 3

(a) Cálculo de [\mathrm{B}] em t=30\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro calculo k t:
k t = 0,653\times 30 = 19,59\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Calculo 1/[\mathrm{B}]_0:
\frac{1}{[\mathrm{B}]_0}=\frac{1}{6,50}=0,153846\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Somo os termos e faço o inverso:
\frac{1}{[\mathrm{B}](30\\ \mathrm{s})}=0,153846+19,59=19,743846\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1},
[\mathrm{B}](30\\ \mathrm{s})=\frac{1}{19,743846}=0,050635\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistentes com os dados): [\mathrm{B}](30\\ \mathrm{s})=0,0506\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.

Passo 4

(b) Cálculo de [\mathrm{B}] em t=30\\ \mathrm{min}.
  • Converter 30\\ \mathrm{min} para segundos: 30\\ \mathrm{min}=30\times60=1800\\ \mathrm{s}.
  • Calculo k t:
k t = 0,653\times 1800 = 1175,4\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Somo com 1/[\mathrm{B}]_0:
\frac{1}{[\mathrm{B}](1800\\ \mathrm{s})}=0,153846+1175,4=1175,553846\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1},
[\mathrm{B}](1800\\ \mathrm{s})=\frac{1}{1175,553846}=0,00085029\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos: [\mathrm{B}](30\\ \mathrm{min})=8,50\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.

Passo 5

(c) Cálculo de [\mathrm{B}] em t=1{,}5\\ \mathrm{h}.
  • Converter 1{,}5\\ \mathrm{h} para segundos: 1{,}5\\ \mathrm{h}=1{,}5\times3600=5400\\ \mathrm{s}.
  • Calculo k t:
k t = 0,653\times 5400 = 3526,2\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Somo com 1/[\mathrm{B}]_0:
\frac{1}{[\mathrm{B}](5400\\ \mathrm{s})}=0,153846+3526,2=3526,353846\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1},
[\mathrm{B}](5400\\ \mathrm{s})=\frac{1}{3526,353846}=0,00028348\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos: [\mathrm{B}](1{,}5\\ \mathrm{h})=2,83\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.

Passo 6

(d) Cálculo do tempo de meia-vida para B ( t_{1/2}).
  • Definição: meia-vida é o tempo em que [\mathrm{B}]=\dfrac{[\mathrm{B}]_0}{2}.
  • Usamos a forma integrada
\frac{1}{[\mathrm{B}]}=\frac{1}{[\mathrm{B}]_0}+k t,
substituindo [\mathrm{B}]=\dfrac{[\mathrm{B}]_0}{2}:
\frac{1}{[\mathrm{B}]_0/2}=\frac{1}{[\mathrm{B}]_0}+k t_{1/2}.
  • O lado esquerdo é 2/\![\mathrm{B}]_0. Subtraindo 1/[\mathrm{B}]_0 de ambos os lados obtém-se
\frac{2}{[\mathrm{B}]_0}-\frac{1}{[\mathrm{B}]_0}=k t_{1/2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{[\mathrm{B}]_0}=k t_{1/2}.
  • Logo a expressão clássica para meia-vida em segunda ordem (dependente da concentração inicial) é
t_{1/2}=\frac{1}{k[\mathrm{B}]_0}.
  • Substituindo numericamente:
t_{1/2}=\frac{1}{0,653\times 6,50}=\frac{1}{4,2445}=0,2356\\ \mathrm{s}.
Arredondando para três algarismos significativos: t_{1/2}=0,236\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) [\mathrm{B}](30\\ \mathrm{s})=0,0506\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}
(b) [\mathrm{B}](30\\ \mathrm{min})=8,50\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}
(c) [\mathrm{B}](1{,}5\\ \mathrm{h})=2,83\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}
(d) t_{1/2}=\dfrac{1}{k[\mathrm{B}]_0}=0,236\\ \mathrm{s}

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