A série de Fourier de
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & -\pi / 2<x<0, \\\ \cos x, & 0<x<\pi / 2 \end{array} \quad \text { em }[-\pi / 2, \pi / 2]\right.
é:

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi/2<x<0,\\[4pt] \cos x, & 0<x<\pi/2, \end{cases}
definida no intervalo [-\,\pi/2,\pi/2], e pede a série de Fourier dessa função nesse intervalo. Informações relevantes: a função é dada em todo o intervalo simétrico de comprimento \pi (de -\pi/2 a \pi/2), e devemos encontrar os coeficientes da série de Fourier periódica associada a esse domínio.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a forma padrão da série de Fourier para uma função definida em [-L,L]. Se L=\pi/2 (como é o nosso caso), a série se escreve
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\bigr).
As fórmulas dos coeficientes são
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.
Aqui L=\pi/2. Observe que \tfrac{n\pi}{L}=\tfrac{n\pi}{\pi/2}=2n, ou seja, as frequências serão \cos(2nx) e \sin(2nx). Vou usar essas fórmulas e aproveitar que f(x)=0 para x<0 para simplificar as integrais, reduzindo-as a integrais de 0 a \pi/2.

Passo 3

Calcular a_0. Usando L=\pi/2 e que f(x)=0 em [-\,\pi/2,0) e f(x)=\cos x em (0,\pi/2],
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx=\frac{1}{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}=1-0=1.
Logo
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot 1=\frac{2}{\pi},
e o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usando as fórmulas e L=\pi/2:
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx.
Para integrar \cos x\cos(2n x) usamos a identidade produto-para-soma
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr).
Aplicando com A=x e B=2n x,
\cos x\cos(2n x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((1-2n)x)+\cos((1+2n)x)\bigr).

Passo 5

Integrar a expressão obtida:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos((1-2n)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos((1+2n)x)\,dx.
Cada integral tem a forma \int_{0}^{\pi/2}\cos(kx)\,dx=\dfrac{\sin(kx)}{k}\Big|_{0}^{\pi/2}=\dfrac{\sin(k\pi/2)}{k}.
Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{\sin((1-2n)\pi/2)}{1-2n}+\frac{\sin((1+2n)\pi/2)}{1+2n}\Bigr).

Passo 6

Avaliar os senos \sin((1\pm 2n)\pi/2). Como 1\pm 2n é sempre ímpar, usa-se a propriedade
\sin\bigl((2m+1)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^{m}.
Tomando m=n ou m=n-1 conforme necessário, verifica-se (com checagem por casos) que
\sin\bigl((1-2n)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^n \quad\text{e}\quad \sin\bigl((1+2n)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^n.
Substituindo na integral do passo anterior,
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}(-1)^n\Bigl(\frac{1}{1-2n}+\frac{1}{1+2n}\Bigr).
Somando as frações:
\frac{1}{1-2n}+\frac{1}{1+2n}=\frac{(1+2n)+(1-2n)}{(1-2n)(1+2n)}=\frac{2}{1-4n^2}.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx=\frac{(-1)^n}{1-4n^2}.

Passo 7

Voltar para a_n. Lembrando a_n=\dfrac{2}{\pi} vezes a integral do passo anterior,
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n}{1-4n^2}=\frac{2(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}.
Observação útil: 1-4n^2=-(4n^2-1), então às vezes é conveniente escrever
a_n=-\frac{2(-1)^n}{\pi(4n^2-1)}.

Passo 8

Calcular b_n para n\ge1. Usando a fórmula e simplificando pelo fato de f(x)=0 para x<0,
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2n x)\,dx.
Usamos a identidade produto-para-soma para \cos x\sin(2n x):
\cos A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(B+A)+\sin(B-A)\bigr).
Com A=x e B=2n x,
\cos x\sin(2n x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((2n+1)x)+\sin((2n-1)x)\bigr).

Passo 9

Integrar:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2n x)\,dx =\tfrac{1}{2}\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n+1)x)\,dx+\int_{0}^{\pi/2}\sin((2n-1)x)\,dx\Bigr).
Sabemos que \int_{0}^{\pi/2}\sin(kx)\,dx=\dfrac{1-\cos(k\pi/2)}{k}. Para k ímpar, \cos(k\pi/2)=0, então \int_{0}^{\pi/2}\sin(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}. Como 2n\pm1 são ímpares, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2n x)\,dx=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\Bigr).

Passo 10

Simplificar a soma das frações:
\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}=\frac{(2n-1)+(2n+1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{4n}{4n^2-1}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2n x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{4n}{4n^2-1}=\frac{2n}{4n^2-1}.
Multiplicando pelo fator exterior 2/\pi,
b_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2n}{4n^2-1}=\frac{4n}{\pi(4n^2-1)}.

Passo 11

Agora reunimos todos os coeficientes e escrevemos a série de Fourier. Temos:
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{\pi}, \quad a_n=\frac{2(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}, \quad b_n=\frac{4n}{\pi(4n^2-1)}.
Substituindo na forma geral (com \tfrac{n\pi}{L}x=2n x) obtemos
f(x)=\frac{1}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2n x)+\frac{4n}{\pi(4n^2-1)}\sin(2n x)\right).

Resposta

f(x)=\frac{1}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2n x)+\frac{4n}{\pi(4n^2-1)}\sin(2n x)\right)

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