definida no intervalo [-\,\pi/2,\pi/2], e pede a série de Fourier dessa função nesse intervalo. Informações relevantes: a função é dada em todo o intervalo simétrico de comprimento \pi (de -\pi/2 a \pi/2), e devemos encontrar os coeficientes da série de Fourier periódica associada a esse domínio.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a forma padrão da série de Fourier para uma função definida em [-L,L]. Se L=\pi/2 (como é o nosso caso), a série se escreve
Aqui L=\pi/2. Observe que \tfrac{n\pi}{L}=\tfrac{n\pi}{\pi/2}=2n, ou seja, as frequências serão \cos(2nx) e \sin(2nx). Vou usar essas fórmulas e aproveitar que f(x)=0 para x<0 para simplificar as integrais, reduzindo-as a integrais de 0 a \pi/2.
Passo 3
Calcular a_0. Usando L=\pi/2 e que f(x)=0 em [-\,\pi/2,0) e f(x)=\cos x em (0,\pi/2],
Sabemos que \int_{0}^{\pi/2}\sin(kx)\,dx=\dfrac{1-\cos(k\pi/2)}{k}. Para k ímpar, \cos(k\pi/2)=0, então \int_{0}^{\pi/2}\sin(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}. Como 2n\pm1 são ímpares, obtemos