A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos) y^prime prime+8 y^prime+25 y=100 ; y(0)=2 ; y^prime(0)=20

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede pra gente achar a função y'' + 8,y' + 25,y = 100, y(0)=2,;y'(0)=20 que resolve o PVI
Esse é um problema de Equação Diferencial Ordinária linear de 2ª ordem com condições iniciais.
Conteúdo: transformada de Laplace. Vamos usar:
  1. Definição e propriedades da T. de Laplace (principalmente de derivadas);
  2. tabela inversa de Laplace;
  3. completar quadrado e frações parciais pra inverter a transformada.

Passo 2

Primeiro, tomo a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamo Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), .
Usando
l[s^2Y(s)-scdot2-20r] ;+;8l[sY(s)-2r];+;25,Y(s) ;=;L100=100s
vem

Passo 3

Agora é organizar em s^2Y(s)-2s-20 ;+;8sY(s)-16;+;25Y(s) =100s .
  1. Expande tudo:
Y(s)l(s^2+8s+25r);-;(2s+36) =100s
  1. Junta termos de Y(s) =tfrac100s + (2s+36)s^2+8s+25 e os constantes:
  1. Isola :

Passo 4

Pra inverter, transformo o denominador em Y(s) =100sl((s+4)^2+9r) ;+;2s+36(s+4)^2+9 (pois Y(s) =4s ;-;2(s+4)(s+4)^2+3^2 ;+;12(s+4)^2+3^2 ).
Então separei
Depois faço frações parciais em e junto com o outro pedaço.
O resultado final em partes fica

Passo 5

Agora uso a tabela inversa:
  • y(t) =4 ;-;2,e^-4tcos(3t) ;+;4,e^-4tsin(3t) .
  • .
  • .
Aplicando aos coeficientes:

Resposta

boxedy(t)=4 ;-;2,e^-4tcos(3t);+;4,e^-4tsin(3t)

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