A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
(4 pontos)
(4 pontos)
Passo 1
Tranquilo, o enunciado pede pra gente achar a função
que resolve o PVI
Esse é um problema de Equação Diferencial Ordinária linear de 2ª ordem com condições iniciais.
Conteúdo: transformada de Laplace. Vamos usar:
Conteúdo: transformada de Laplace. Vamos usar:
- Definição e propriedades da T. de Laplace (principalmente de derivadas);
- tabela inversa de Laplace;
- completar quadrado e frações parciais pra inverter a transformada.
Passo 2
Primeiro, tomo a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamo
.
Usando
Usando
vem
Passo 3
Agora é organizar em
.
- Expande tudo:
- Junta termos de
e os constantes:
- Isola
:
Passo 4
Pra inverter, transformo o denominador em
(pois
).
Então separei
Então separei
Depois faço frações parciais em
e junto com o outro pedaço.
O resultado final em partes fica
O resultado final em partes fica
Passo 5
Agora uso a tabela inversa:
-
. -
. -
.
Aplicando aos coeficientes: