A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
$(4 pontos)
Passo 1
Beleza, o problema fala de um PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma EDO de 2ª ordem com condição inicial.
Enunciado resumido:
• Temos a EDO
com condições e .
Conteúdo: vamos usar Transformada de Laplace para transformar a EDO em álgebra, depois aplicar frações parciais e finalmente voltar pelo inverso da Laplace. Precisamos saber:
Propriedade da Transformada de Laplace de derivadas.
Tabela de Laplace (por ex. , , ).
Como fazer frações parciais.
Transformada inversa.
Passo 2
Aplicar a Transformada de Laplace em todo mundo:
Pelas fórmulas:
Então a equação vira
Passo 3
Reunindo termos em :
Logo
Passo 4
Agora vamos decompor a parte em frações parciais. Assume-se
Multiplicando tudo por dá
Expandindo:
Compare coeficientes com :
Daí , , e → → .
Então , .
Logo
Substituindo em :
Passo 5
Agora volta pelo inverso da Laplace termo a termo:
• .
• .
• .