A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
$(4 pontos) (4 pontos)

Passo 1

Beleza, o problema fala de um PVI (Problema de Valor Inicial) que é uma EDO de 2ª ordem com condição inicial.
Enunciado resumido:
• Temos a EDO
y'' + 9,y = 20,e^-t
com condições e .
Conteúdo: vamos usar Transformada de Laplace para transformar a EDO em álgebra, depois aplicar frações parciais e finalmente voltar pelo inverso da Laplace. Precisamos saber:
  1. Propriedade da Transformada de Laplace de derivadas.
  2. Tabela de Laplace (por ex. , , ).
  3. Como fazer frações parciais.
  4. Transformada inversa.

Passo 2

Aplicar a Transformada de Laplace em todo mundo:
Pelas fórmulas:
Então a equação vira
Laplacey'' + 9,Laplacey = 20,Laplacee^-t

Passo 3

Reunindo termos em (s^2 + 9),Y(s) - 1 = 20s+1 Longrightarrow (s^2+9),Y(s) = 1 + 20s+1 :
Y(s) = 1s^2+9 ;+; 20(s+1)(s^2+9)
Logo

Passo 4

Agora vamos decompor a parte 20(s+1)(s^2+9) = As+1 + B,s + Cs^2+9 em frações parciais. Assume-se
20 = A(s^2+9) + (B,s + C)(s+1)
Multiplicando tudo por 20 = A s^2 + 9A + B s^2 + B s + C s + C = (A+B),s^2 + (B+C),s + (9A + C)
A + B = 0, B + C = 0, 9A + C = 20
Expandindo:
20(s+1)(s^2+9) = 2s+1 + -2,s + 2s^2+9 = 2s+1 - 2ss^2+9 + 2s^2+9
Compare coeficientes com Y(s) = 1s^2+9 + l[2s+1 - 2ss^2+9 + 2s^2+9r] = 2s+1 - 2ss^2+9 + 1+2s^2+9 = 2s+1 - 2ss^2+9 + 3s^2+9 :
Daí , , e .
Então , .
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Substituindo em :

Passo 5

Agora volta pelo inverso da Laplace termo a termo:
.
.
.
Somando tudo dá a solução .

Resposta

boxedy(t) = 2,e^-t ;-; 2cos(3t) ;+; sin(3t)

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