A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
$(4 pontos) (4 pontos)

Passo 1

Beleza! Temos um PVI (Problema de Valor Inicial) da matéria de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) e vamos usar Transformada de Laplace pra resolver. O enunciado é:
Dada
y'' - 2y' + y = 12t, y(0)=4, y'(0)=1,
a gente quer achar a função que satisfaça isso.
O que vamos precisar:
  • Definição e tabelinha de Transformada de Laplace
  • Propriedades lineares e de derivadas
  • Técnicas de frações parciais
  • Inversa da Transformada de Laplace

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a EDO. Chamamos Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) . Usamos:
Ly''-2Ly'+Ly =L12t
Fazendo isso:
l(s^2Y -4s -1r);-;2l(sY-4r);+;Y ;=;12s^2
Substituindo os valores iniciais , e , dá

Passo 3

Agora a gente junta os termos em s^2Y -2sY +Y ;-;4s -1 +8 ;=;12s^2 e os constantes:
Y(s)l(s^2-2s+1r) ;+;(-4s+7) ;=;12s^2
Ou seja
Y(s)(s-1)^2 = 12s^2 +4s -7 Longrightarrow Y(s)=4s-7(s-1)^2 ;+;12s^2,(s-1)^2
Mas . Então

Passo 4

A gente separa 4s-7(s-1)^2 =4(s-1)-3(s-1)^2 =4s-1-3(s-1)^2 em pedaços que a gente conheça a inversa. Primeiro note que
12s^2(s-1)^2 =24s-24s-1+12s^2+12(s-1)^2 dá para escrever como
Y(s) = 24s + 12s^2 -20s-1 + 9(s-1)^2
Agora fazemos fração parcial em
. O resultado é
Juntando tudo:

Passo 5

Agora é só inverter cada termo usando a tabela:

Resposta

Logo, a solução do PVI é
boxedy(t)=24 ;+;12,t ;-;20,e^t ;+;9,t,e^t

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