A solução de um Problema do Valor Inicial (PVI) busca encontrar a função y(t) que satisfaz tanto a equação diferencial ordinária (EDO) quanto a condição inicial. Usando Transformada de Laplace, resolva os PVIs:
$(4 pontos)
$(4 pontos)
Passo 1
Beleza! Temos um PVI (Problema de Valor Inicial) da matéria de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) e vamos usar Transformada de Laplace pra resolver. O enunciado é:
Dada
Dada
a gente quer achar a função
que satisfaça isso.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição e tabelinha de Transformada de Laplace
- Propriedades lineares e de derivadas
- Técnicas de frações parciais
- Inversa da Transformada de Laplace
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a EDO. Chamamos
. Usamos:
Fazendo isso:
Substituindo os valores iniciais
,
e
, dá
Passo 3
Agora a gente junta os termos em
e os constantes:
Ou seja
Mas
. Então
Passo 4
A gente separa
em pedaços que a gente conheça a inversa. Primeiro note que
dá para escrever como
Agora fazemos fração parcial em
. O resultado é
Juntando tudo:
Passo 5
Agora é só inverter cada termo usando a tabela:
Resposta
Logo, a solução do PVI é