Solucione os problemas de otimização usando o método gráfico.
Maximizar a função-objetivo Z
\operatorname{Max} Z=4 x_{1}+3 x_{2}
sujeito `a :
\begin{aligned} x_{1}+3 x_{2} & \leq 7 \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2} & \leq 8 \\\ x_{1}+x_{2} & \leq 3 \\\ x_{2} & \leq 2 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O problema é um programa linear que busca maximizar
Z = 4x_{1} + 3x_{2}
sujeito às restrições
\begin{cases} x_{1} + 3x_{2} \le 7,\\\\ 2x_{1} + 2x_{2} \le 8,\\\ x_{1} + x_{2} \le 3,\\\ x_{2} \le 2,\\\ x_{1},x_{2}\ge0. \end{cases}
Vamos usar o método gráfico: traçar as retas de fronteira, identificar a região viável e calcular Z nos vértices.

Passo 2

Identificamos as retas de fronteira e seus interceptos:
– Reta 1: x_{1}+3x_{2}=7 tem interceptos (7,0) e \bigl(0,\tfrac{7}{3}\bigr).
– Reta 2: 2x_{1}+2x_{2}=8 equivale a x_{1}+x_{2}=4 com interceptos (4,0) e (0,4).
– Reta 3: x_{1}+x_{2}=3 com interceptos (3,0) e (0,3).
– Reta 4: x_{2}=2 é a reta horizontal que passa em y=2.
Além disso, temos os eixos x_{1}=0 e x_{2}=0.

Passo 3

Verificamos redundâncias:
  1. x_{1}+x_{2}\le4 (Reta 2) é sempre menos restritiva que x_{1}+x_{2}\le3 (Reta 3).
  2. No intervalo 0\le x_{2}\le2, a reta x_{1}+3x_{2}=7 fica acima de x_{1}+x_{2}=3, logo a primeira também não define fronteira da região viável.
    Portanto a região viável é dada por
\begin{cases} x_{1}+x_{2}\le3,\\\ x_{2}\le2,\\\ x_{1},x_{2}\ge0. \end{cases}

Passo 4

Calculamos os vértices dessa região:
  1. Origem: (0,0).
  2. Interseção de x_{1}+x_{2}=3 com x_{2}=0: (3,0).
  3. Interseção de x_{1}+x_{2}=3 com x_{2}=2: resolvendo x_{1}+2=3 (1,2).
  4. Interseção de x_{2}=2 com x_{1}=0: (0,2).

Passo 5

Avaliaremos Z=4x_{1}+3x_{2} em cada vértice:
– Em (0,0):
Z = 4\cdot0 + 3\cdot0 = 0.
– Em (3,0):
Z = 4\cdot3 + 3\cdot0 = 12.
– Em (1,2):
Z = 4\cdot1 + 3\cdot2 = 4 + 6 = 10.
– Em (0,2):
Z = 4\cdot0 + 3\cdot2 = 6.

Passo 6

Comparando os valores, o máximo ocorre em (3,0) com
Z_{\max} = 12.

Resposta

x_{1}^{*}=3,\quad x_{2}^{*}=0,\quad Z_{\max}=12.

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