Solucione os problemas de otimização usando o método gráfico.
Maximizar a função-objetivo Z
\operatorname{Max} Z=4 x_{1}+8 x_{2}
sujeito a :
\begin{aligned} 3 x_{1}+2 x_{2} & \leq 18 \\\ x_{1}+x_{2} & \leq 5 \\\ x_{1} & \leq 4 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
Z = 4x_{1} + 8x_{2}
sujeito a
\begin{aligned} 3x_{1} + 2x_{2} &\le 18,\\\ x_{1} + x_{2} &\le 5,\\\ x_{1} &\le 4,\\\ x_{1},\,x_{2} &\ge 0. \end{aligned}
Vamos usar o método gráfico, em que a região viável é o polígono definido pelas interseções dessas retas e dos eixos, e o teorema diz que o ótimo ocorre em algum vértice dessa região.

Passo 2

Determine as equações das fronteiras (linhas onde as desigualdades viram igualdades):
3x_{1} + 2x_{2} = 18
x_{1} + x_{2} = 5
x_{1} = 4
além das fronteiras naturais
x_{1} = 0,\quad x_{2} = 0.

Passo 3

Desenhe (ou imagine) essas retas no primeiro quadrante. Observa-se que a reta 3x_{1}+2x_{2}=18 fica “mais larga” que a reta x_{1}+x_{2}=5 dentro das outras restrições, então o lado ativo da região viável fica realmente limitado por
x_{1}=0,\;x_{2}=0,\;x_{1}=4,\;x_{1}+x_{2}=5.
Isso gera um trapézio cujos vértices são as interseções dessas retas.

Passo 4

Calcule os vértices da região viável:
  1. Interseção de x_{1}=0 e x_{2}=0:
    (0,0).
  2. Interseção de x_{1}=4 e x_{2}=0:
    (4,0).
  3. Interseção de x_{1}=4 e x_{1}+x_{2}=5:
    substituindo x_{1}=4 em 4+x_{2}=5 x_{2}=1, ponto (4,1).
  4. Interseção de x_{1}=0 e x_{1}+x_{2}=5:
    substituindo x_{1}=0 em 0+x_{2}=5 x_{2}=5, ponto (0,5).

Passo 5

Avalie a função-objetivo \;Z=4x_{1}+8x_{2}\; em cada vértice:
Z(0,0)=0, \quad Z(4,0)=4\cdot4+8\cdot0=16,
Z(4,1)=4\cdot4+8\cdot1=16+8=24, \quad Z(0,5)=4\cdot0+8\cdot5=40.
O maior valor de Z é 40, obtido em (x_{1},x_{2})=(0,5).

Resposta

A solução ótima é
x_{1}=0,\quad x_{2}=5,
com valor máximo
Z_{\max}=40.

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