Solucione os problemas de otimização usando o método gráfico.
Minimizar a função-objetivo Z
\operatorname{Min} Z=x_{1}+2 x_{2}
sujeito `a :
\begin{aligned} -5 x_{1}+2 x_{2} & \geq-10 \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2} & \geq 15 \\\ x_{1}+x_{2} & \geq 1 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O problema é de programação linear em duas variáveis (x_{1},x_{2})\). A função-objetivo é \[\Min Z = x_{1} + 2x_{2},
e as restrições formam uma região viável no primeiro quadrante dada por
\begin{cases} -5x_{1} + 2x_{2} \ge -10,\\\\ 3x_{1} + 5x_{2} \ge 15,\\\ x_{1} + x_{2} \ge 1,\\\ x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0. \end{cases}
Para usar o método gráfico, vamos:
1\]) escrever cada desigualdade em função de \(x_{2},
2) identificar as retas que de fato “puxam” a fronteira inferior da região,
3) achar os vértices dessa região, e
4) avaliar Z nesses vértices.

Passo 2

Colocando cada desigualdade na forma x_{2}\ge f(x_{1}):
\begin{aligned} -5x_{1} + 2x_{2} \ge -10 &\;\Longrightarrow\; 2x_{2} \ge 5x_{1} - 10 \;\Longrightarrow\; x_{2} \ge \tfrac{5}{2}x_{1} - 5,\\\\ 3x_{1} + 5x_{2} \ge 15 &\;\Longrightarrow\; 5x_{2} \ge 15 - 3x_{1} \;\Longrightarrow\; x_{2} \ge 3 - \tfrac{3}{5}x_{1},\\\ x_{1} + x_{2} \ge 1 &\;\Longrightarrow\; x_{2} \ge 1 - x_{1},\\\ x_{2} \ge 0,\quad x_{1} \ge 0. \end{aligned}
Analisando essas três retas no plano (x_{1},x_{2}), verifica-se que a fronteira “inferior” da região viável é dada em parte pela reta
3x_{1}+5x_{2}=15 (de x_{1}=0 até sua interseção com a outra reta ativa)
e depois pela reta
-5x_{1}+2x_{2}=-10 (para abscissas maiores).

Passo 3

Encontramos o ponto de interseção dessas duas retas, resolvendo
\begin{cases} 3x_{1}+5x_{2}=15,\\\\ -5x_{1}+2x_{2}=-10. \end{cases}
Da segunda: \;x_{2} = \tfrac{5}{2}x_{1} - 5. Substituindo na primeira:
3x_{1} + 5\Bigl(\tfrac{5}{2}x_{1}-5\Bigr) = 15 \;\Longrightarrow\; 3x_{1} + \tfrac{25}{2}x_{1} -25 =15 \;\Longrightarrow\; \frac{31}{2}x_{1} = 40 \;\Longrightarrow\; x_{1} = \frac{80}{31},
x_{2} = \frac{5}{2}\,\frac{80}{31} \;-\;5 = \frac{200}{31} \;-\;\frac{155}{31} = \frac{45}{31}.
Logo o vértice é
P = \Bigl(\tfrac{80}{31},\,\tfrac{45}{31}\Bigr).

Passo 4

O outro vértice relevante é a interseção da reta 3x_{1}+5x_{2}=15 com o eixo x_{1}=0, ou seja
(0,x_{2})\quad\text{tal que}\quad5x_{2}=15\;\Longrightarrow\;(0,3).
As demais interseções (com x_{2}=0 ou com x_{1}+x_{2}=1) não satisfazem simultaneamente todas as desigualdades.

Passo 5

Avaliaremos Z nesses dois vértices:
Z(0,3) = 0 + 2\cdot 3 = 6, \qquad Z\!\Bigl(\tfrac{80}{31},\tfrac{45}{31}\Bigr) = \frac{80}{31} + 2\cdot\frac{45}{31} = \frac{80 + 90}{31} = \frac{170}{31} \approx 5{,}4839.
Como \tfrac{170}{31}<6, o mínimo ocorre em
\bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=(80/31,45/31).

Resposta

x_{1}^* = \tfrac{80}{31},\quad x_{2}^* = \tfrac{45}{31},\quad Z_{\min} = \tfrac{170}{31}.

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