Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial da seguinte forma:
Como queremos separar as variáveis
e
, vamos rearranjar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
:
Sabemos que:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Igualando as integrais:
Podemos simplificar essa expressão combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária. O domínio máximo dessa solução é dado por
, já que nesse ponto o denominador se anula e a função não está definida.