Dê as soluções das equações diferenciais de 1^{\underline{a}} ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(d) y^{\prime}=(1-y)(2-y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = (1 - y)(2 - y)
e pede todas as soluções, incluindo as constantes, e seus domínios máximos. O conteúdo é separação de variáveis e análise de soluções singulares.

Passo 2

Primeiro, identificamos soluções constantes supondo y(x)\equiv c. Então y'=0, logo
(1-c)(2-c)=0
de onde c=1 ou c=2. Assim
y(x)=1 \quad\text{e}\quad y(x)=2
são duas soluções constantes válidas em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora buscamos soluções não constantes. Supondo y\neq1 e y\neq2, fazemos separação de variáveis:
\frac{dy}{(1-y)(2-y)} = dx.

Passo 4

Decompondo em frações parciais, escrevemos
\frac{1}{(1-y)(2-y)} =\frac{A}{1-y}+\frac{B}{2-y}
com A(2-y)+B(1-y)=1. Para y=1 vem A=1 e para y=2 vem -B=1\;\Rightarrow\;B=-1. Logo
\frac{1}{(1-y)(2-y)} =\frac{1}{1-y}-\frac{1}{2-y}.
Integramos:
\int\!\frac{dy}{(1-y)(2-y)} =\int\Bigl(\frac{1}{1-y}-\frac{1}{2-y}\Bigr)\,dy =-\ln\bigl|1-y\bigr|+\ln\bigl|2-y\bigr| =\ln\Bigl|\frac{2-y}{1-y}\Bigr|.
Isso deve igualar x + C, onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Temos
\ln\Bigl|\frac{2-y}{1-y}\Bigr| = x + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{2-y}{1-y} = K e^{x},
com K=e^{C}\neq0. Daí
2 - y = K e^{x}(1 - y) \quad\Longrightarrow\quad y\,(K e^{x}-1)=K e^{x}-2 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\frac{K e^{x}-2}{K e^{x}-1}.

Passo 6

Para essa solução evitar divisões por zero, exigimos K e^{x}\neq1. Se K>0, há um ponto singular em x=-\ln K, e o domínio máximo é um dos intervalos (-\infty,-\ln K) ou (-\ln K,\infty). Se K<0, então K e^{x}<0 nunca atinge 1, e o domínio máximo é \mathbb{R}.

Resposta

As soluções são
y(x)=1,\quad y(x)=2
válidas em todo \mathbb{R}, e a família
y(x)=\frac{K e^{x}-2}{K e^{x}-1},\qquad K\neq0,
cujo domínio máximo é qualquer intervalo em que K e^{x}\neq1 (isto é, \mathbb{R} se K<0, ou (-\infty,-\ln K) e (-\ln K,\infty) se K>0).

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